2016-浙江卷文-05 单-对数

本题导读

本题考查对数函数的性质与图象、不等式的等价转化，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 已知 $a,b>0$，且 $a\ne 1,b\ne 1$，若 ${\log }_{a}b>1$，则 ()

A. $(a-1)(b-1)<0$　　　　　　　　　B. $(a-1)(a-b)>0$

C. $(b-1)(b-a)<0$　　　　　　　　　D. $(b-1)(b-a)>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 ${\log }_{a}b>1$ 利用换底公式或对数单调性转化为 ${\log }_{a}b-{\log }_{a}a>0⟹{\log }_a\left(\frac{b}{a}\right)>0$。
2. 分类讨论底数 $a>1$ 和 $0<a<1$ 两种情况，分别推导出 $a,b$ 与 1 的大小关系以及 $a,b$ 的大小关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知 ${\log }_{a}b>1⟹{\log }_{a}b-1>0$。 分情况讨论底数 $a$ 的取值：

• 情况一：当 $a>1$ 时， ${\log }_{a}b>{\log }_{a}a⟹b>a>1$。 此时 $a>1,b>1⟹a-1>0,b-1>0⟹(a-1)(b-1)>0$； 同时 $b>a⟹a-b<0⟹(a-1)(a-b)<0$； 同时 $b>1,b>a⟹(b-1)(b-a)>0$。
• 情况二：当 $0<a<1$ 时， ${\log }_{a}b>{\log }_{a}a⟹0<b<a<1$。 此时 $0<a<1,0<b<1⟹a-1<0,b-1<0⟹(a-1)(b-1)>0$； 同时 $b<a⟹a-b>0$，而 $a-1<0⟹(a-1)(a-b)<0$； 同时 $b<1⟹b-1<0$，$b<a⟹b-a<0$，两负相乘得 $(b-1)(b-a)>0$。 综合两种情况，均能得出 $(b-1)(b-a)>0$ 恒成立。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 对数单调性、分类讨论思想。
2. 核心方法: 换底转化法与符号法则。
3. 避坑指南：应用对数单调性时，必须对底数大于 1 还是小于 1 进行分类讨论，切勿直接脱去对数符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考对数性质与不等式综合选择题。
2. 结论推广: ${\log }_{a}b>1⟺(a-1)(b-a)>0$（在定义域内）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式

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