2016-浙江卷文-08 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的定义与性质、三角形面积公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 如图，点列 $\{A_n\}$、$\{B_n\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $|A_n{A}_{n+1}|=|A_{n+1}{A}_{n+2}|$，$A_n\ne A_{n+2}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$；$|B_n{B}_{n+1}|=|B_{n+1}{B}_{n+2}|$，$B_n\ne B_{n+2}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$（$P\ne Q$ 表示点 $P$ 与 $Q$ 不重合）. 若 $d_n=|A_n{B}_n|$，$S_n$ 为 $△A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 的面积，则 ()

A. $\{S_n\}$ 是等差数列　　　　　　　　　　　　　　B. $\{S_n^2\}$ 是等差数列

C. $\{d_n\}$ 是等差数列　　　　　　　　　　　　　　D. $\{d_n^2\}$ 是等差数列

🔍【思路分析】

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1. 分析底边：在 $△A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 中，底边为 $B_n{B}_{n+1}$。根据已知条件，底边的长度 $|B_n{B}_{n+1}|$ 是一个常数，设为 $b$。
2. 分析高：面积 $S_n=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_n$，其中 $h_n$ 是点 $A_n$ 到边 $B_n{B}_{n+1}$ 所在的直线的距离。
3. 寻找高的规律：由于点 $A_n$ 在射线上等距排列，根据平行线分线段成比例定理，点 $A_n$ 到另一边的垂直距离 $h_n$ 构成一个等差数列。
4. 判定结论：因为 $S_n$ 与 $h_n$ 成正比，且 $h_n$ 是等差数列，所以 $S_n$ 也是等差数列。
5. 排除干扰：$d_n$ 涉及到余弦定理，通项包含根号项，通常不构成等差数列。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 分析底面积关系： 设锐角的顶点为 $O$，射线分别为 $OX,OY$。 对于 $△A_n{B}_n{B}_{n+1}$，其底边 $B_n{B}_{n+1}$ 都在射线 $OY$ 上，且长度 $|B_n{B}_{n+1}|=d_B$（常数）。

2. 分析高 $h_n$ 的变化： 设点 $A_n$ 到射线 $OY$ 的距离为 $h_n$。 由于 $|A_n{A}_{n+1}|$ 为常数 $d_A$，则 $|O{A}_n|=|O{A}_1|+(n-1)d_A$。 由三角函数关系知：$h_n=|O{A}_n|\sin \angle O=[|O{A}_1|+(n-1)d_A]\sin \angle O$。 $h_n$ 是关于 $n$ 的一次函数，因此 $\{h_n\}$ 是一个等差数列。

3. 确定 $S_n$ 的性质： $S_n=\frac{1}{2}\cdot |B_n{B}_{n+1}|\cdot h_n=\frac{1}{2}{d}_B\cdot h_n$。 根据等差数列的定义，等差数列乘以常数后仍为等差数列。 所以 $\{S_n\}$ 是等差数列。

4. 讨论 $d_n$： 根据余弦定理：$d_n^2=|O{A}_n{|}^2+|O{B}_n{|}^2-2|O{A}_n||O{B}_n|\cos \angle O$。 由于 $|O{A}_n|$ 和 $|O{B}_n|$ 都是关于 $n$ 的一次函数，则 $d_n^2$ 是关于 $n$ 的二次函数。 二次函数开方后的 $d_n$ 一般不是等差数列。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 等差数列的几何判定：在直线上按固定间距排列的点，其纵坐标、到定直线的距离均成等差数列。

• 面积计算的变量控制：本题中“底不变”，只需考察“高”的变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目考察的是 $△O{A}_n{B}_n$ 的面积 $S_n^{\prime }$，它还是等差数列吗？
  • 提示：此时 $S_n^{\prime }=\frac{1}{2}|O{A}_n||O{B}_n|\sin \angle O$。由于两个因式都是 $n$ 的一次函数，乘积是 $n$ 的二次函数，故 $\{S_n^{\prime }\}$ 不是等差数列。
• 常用结论：若底边 $b$ 和高 $h$ 其中一个是常数，另一个是等差数列，则面积 $S$ 必为等差数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列

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