2016-浙江卷文-14 填-立体几何

本题导读

本题考查空间异面直线所成的角、空间向量数量积法求线线角，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 如图，已知平面四边形 $ABCD$，$AB=BC=3$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，$\angle ADC=90^{\circ }$.沿直线 $AC$ 将 $△ACD$ 翻折成 $△AC{D}^{\prime }$，直线 $AC$ 与 $B{D}^{\prime }$ 所成角的余弦值的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 在平面图形中先求出未知的边长及角度：在 Rt$△ADC$ 中，$CD=1,AD=\sqrt{5}$，由勾股定理得 $AC=\sqrt{1^2+(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{6}$。
2. 在 $△ABC$ 中，$AB=BC=3,AC=\sqrt{6}$，可求出 $△ABC$ 的相关几何量。
3. 翻折后，$AC\perp C{D}^{\prime }$ 且 $AC\perp A{D}^{\prime }$（在翻折过程中垂直关系保持不变）。以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系，设翻折角或利用向量法表示出直线 $AC$ 的方向向量和直线 $B{D}^{\prime }$ 的方向向量，利用向量夹角公式求出余弦值的表达式，进而求其最大值。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在 Rt$△ADC$ 中，$CD=1,AD=\sqrt{5}$， 斜边 $AC=\sqrt{C{D}^2+A{D}^2}=\sqrt{1+5}=\sqrt{6}$。 在 $△ABC$ 中，$AB=3,BC=3,AC=\sqrt{6}$， 由余弦定理可求得 $\cos \angle ACB$ 等几何关系。 沿直线 $AC$ 翻折后，在 $△AC{D}^{\prime }$ 中，$AC\perp C{D}^{\prime }$ 且 $AC\perp A{D}^{\prime }$。 建立空间直角坐标系： 设点 $C$ 为原点，向量 $\overrightarrow{AC}$ 所在方向为坐标轴，利用向量法设点 $D^{\prime }$ 的坐标参数。 直线 $AC$ 的方向向量固定，设直线 $B{D}^{\prime }$ 的方向向量为 $\vec{u}$。 根据异面直线所成角的余弦值公式： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{D}^{\prime }}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|}$。 通过坐标化简，将余弦值表示为关于翻折参数的函数，利用二次函数或导数求得其最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$（或根据几何极值得出）。 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 空间异面直线夹角、向量数量积、翻折几何体。
2. 核心方法: 空间直角坐标系向量法。
3. 避坑指南：翻折过程中，线面垂直关系（如 $AC\perp C{D}^{\prime }$）在翻折后依然成立，这是建系的关键突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何翻折与向量压轴填空题。
2. 结论推广: 空间异面直线夹角问题转化为向量夹角后，通常通过求函数最值来解决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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