2016-浙江卷文-18 解-立体几何

本题导读

本题考查空间直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 如图，在三棱台 $ABC-DEF$ 中，平面 $BCFE\perp$ 平面 $ABC$，$\angle ACB=90^{\circ }$，$BE=EF=FC=1$，$BC=2$，$AC=3$.

(1) 求证：$BF\perp$ 平面 $ACFD$；

(2) 求直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：在梯形 $BCFE$ 中利用边长关系证明 $BF\perp FC$，再结合平面 $BCFE\perp$ 平面 $ABC$ 及 $\angle ACB=90^{\circ }$ 证明 $BF\perp AC$，从而利用线面垂直判定定理证得 $BF\perp$ 平面 $ACFD$。
2. 第 (2) 问：以 $C$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 $ACFD$ 的法向量以及直线 $BD$ 的方向向量，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值，进而求出其余弦值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$BF\perp$ 平面 $ACFD$ 在梯形 $BCFE$ 中，$BE=EF=FC=1$，$BC=2$。 由几何关系易证 $BF\perp FC$。 又因为平面 $BCFE\perp$ 平面 $ABC$，且平面 $BCFE\cap$ 平面 $ABC=BC$，$\angle ACB=90^{\circ }$（即 $AC\perp BC$）， 所以 $AC\perp$ 平面 $BCFE$，从而 $AC\perp BF$。 因为 $FC\cap AC=C$，$FC,AC\subset \text{平面 }ACFD$， 所以 $BF\perp$ 平面 $ACFD$。

(2) 求直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成角的余弦值： 以 $C$ 为坐标原点，分别以 $CF,CA$ 所在直线及垂直方向建立空间直角坐标系。 由 (1) 知 $BF\perp$ 平面 $ACFD$，故向量 $\overrightarrow{BF}$ 可作为平面 $ACFD$ 的法向量 $\vec{n}$。 求出点 $B,D$ 的坐标，进而得到向量 $\overrightarrow{BD}$。 设直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{BD}|}$。 计算可得 $\sin \theta$ 的值，进而求出直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成角的余弦值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 线面垂直判定、面面垂直性质、线面角计算。
2. 核心方法: 几何法与空间向量坐标法结合。
3. 避坑指南：证明线面垂直时，务必在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题的经典题型。
2. 结论推广: 三棱台中的垂直与夹角问题通常通过转化到底面和侧面的直角关系来求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-07 填-空间直角坐标系
• 2014-广东卷文-09 单-空间直线位置
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题

专题合集 (Series)