2016-浙江卷理-10 填-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（降幂公式、辅助角公式）、三角函数的图象与性质（振幅、相位、位移），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知 $2{\cos }^{2}x+\sin 2x=A\sin (\omega x+\varphi )+b$ ($A>0$)，则 $A=$ $\underline{}$，$b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 处理二次项（降幂）：看到 $2{\cos }^{2}x$，应立即联想到倍角公式的变形 $1+\cos 2x$，目的是将函数次数降为一次，角度统一为 $2x$。
2. 函数合一（辅助角）：整理出 $\sin 2x+\cos 2x$ 后，利用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$ 进行合并。
3. 对标结构：将化简后的最终表达式与目标式 $A\sin (\omega x+\varphi )+b$ 进行逐项比对，直接提取 $A$ 和 $b$ 的数值。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$；1

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 第一步：降幂与整理 利用公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，原式左边可化为： $f(x)=(1+\cos 2x)+\sin 2x$ 整理得： $f(x)=\sin 2x+\cos 2x+1$

2. 第二步：应用辅助角公式 提取系数 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$： $f(x)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)+1$

由于 $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据两角和的正弦公式得： $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$

3. 第三步：确定参数值 将化简结果与已知形式 $A\sin (\omega x+\varphi )+b$ 对照：

• 前方系数即为振幅 $A=\sqrt{2}$
• 末尾常数项即为上下位移 $b=1$ （注：本题未要求 $\omega$ 和 $\varphi$，但由上式易知 $\omega =2,\varphi =\frac{\pi }{4}$）

故答案为 $\sqrt{2}$；1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常用特殊组合：$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 是高考中的超高频组合，建议直接熟记。
• 化简的方向感：三角恒等变换的终点通常是“一个角、一个函数名、一次方”，即正弦型函数形式。
• 计算细节：在使用降幂公式时，注意常数项 $1$ 的去留，它直接决定了 $b$ 的取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为求该函数的周期和值域？
  • 提示：周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；由 $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})\le \sqrt{2}$ 可得值域为 $[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$。
• 常用公式总结：
  • ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
  • ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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