2016-浙江卷理-14 填-几何证明

本题导读

本题考查棱锥的体积公式、空间几何体的最值问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，$AB=BC=2$，$\angle ABC=120^{\circ }$.若平面 $ABC$ 外的点 $P$ 和线段 $AC$ 上的点 $D$ 满足 $PD=DA$，$PB=BA$，则四面体 $PBCD$ 的体积的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何结构分析：由 $PB=BA=2$ 且 $PD=DA$，可知 $△PBD\cong △ABD$。这说明 $△PBD$ 可以看作是 $△ABD$ 绕直线 $BD$ 旋转而成。
2. 体积目标确定：四面体 $PBCD$ 的体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}\cdot H$，其中 $H$ 是点 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离。
3. 极值位置判定：对于确定的点 $D$，底面积 $S_{△BCD}$ 为定值。当平面 $PBD\perp$ 平面 $ABC$ 时，点 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离 $H$ 达到最大值，即等于 $△ABD$ 中点 $A$ 到边 $BD$ 的距离。
4. 建立函数关系：设 $AD=t$，将底面积和高均表示为 $t$ 的函数，进而构造体积函数 $V(t)$。
5. 求最值：利用代数换元或导数工具求出 $V(t)$ 的最大值。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算基准数据： 在 $△ABC$ 中，$AB=BC=2$，$\angle ABC=120^{\circ }$。 由余弦定理得 $AC=2\sqrt{3}$。设 $M$ 为 $AC$ 中点，则 $BM=1$，$AM=\sqrt{3}$。

1. 表示高 $H$ 与底面积 $S$： 设 $AD=t\in (0,2\sqrt{3})$。则 $CD=2\sqrt{3}-t$。 底面积 $S_{△BCD}=\frac{1}{2}CD\cdot BM=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}-t)\cdot 1=\sqrt{3}-\frac{t}{2}$。 在 $△ABD$ 中，点 $A$ 到 $BD$ 的距离 $H$（即体积最大时的锥高）： 由面积相等 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BM=\frac{1}{2}BD\cdot H$。 其中 $BD=\sqrt{B{M}^2+D{M}^2}=\sqrt{1+(\sqrt{3}-t{)}^2}$。 则 $H=\frac{t\cdot 1}{\sqrt{(\sqrt{3}-t{)}^2+1}}$。

2. 构造体积函数： $V(t)=\frac{1}{3}\cdot \left(\sqrt{3}-\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{t}{\sqrt{(\sqrt{3}-t{)}^2+1}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{t(2\sqrt{3}-t)}{\sqrt{t^2-2\sqrt{3}t+4}}$ 利用 $t(2\sqrt{3}-t)=-(t^2-2\sqrt{3}t)=4-(t^2-2\sqrt{3}t+4)$。 令 $m=\sqrt{t^2-2\sqrt{3}t+4}=\sqrt{(t-\sqrt{3}{)}^2+1}$。 当 $t\in (0,2\sqrt{3})$ 时，$m\in [1,2)$。 则体积函数简化为：$V=\frac{1}{6}\cdot \frac{4-m^2}{m}=\frac{1}{6}\left(\frac{4}{m}-m\right)$。

3. 求极值： 由于 $f(m)=\frac{4}{m}-m$ 在 $[1,2)$ 上是单调递减函数。 当 $m=1$（即 $t=\sqrt{3}$，$D$ 为 $AC$ 中点）时，$V$ 取得最大值： $V_{\max }=\frac{1}{6}\left(\frac{4}{1}-1\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

故答案为 $\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 动态轨迹的捕捉：看到 $PD=DA$ 和 $PB=BA$，应敏锐觉察到 $△PBD$ 的形状是固定的，只是在空间中“转动”。

• 体积最值的通用思路：将体积转化为单变量函数。本题难点在于 $t$ 既影响底面也影响高，必须通过合理的代数换元（如令根号部分为 $m$）来简化表达式。

• 几何直观：当 $D$ 位于中点时，图形的对称性往往对应极值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求四面体 $PABC$ 的体积最大值，结果会有变化吗？
  • 提示：此时底面变为定值 $△ABC$，只需考虑 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离最大。
• 常用结论：在处理这类绕轴旋转求体积最值的题目中，面面垂直往往是高取最大值的临界条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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