2016-浙江卷理-19 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质（离心率）、直线与圆锥曲线的位置关系（弦长公式）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 如图，设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$ ($a>1$).

(1)求直线 $y=kx+1$ 被椭圆截得的弦长（用 $a,k$ 表示）；

(2)若任意以点 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（弦长计算）：联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程。利用弦长公式 $L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 求解。注意到直线经过点 $A(0,1)$，这简化了计算。
2. 第二问（公共点个数）：

• 对称性分析：椭圆关于 $y$ 轴对称，圆心 $A(0,1)$ 在 $y$ 轴上。若存在一个点 $P$ 在椭圆上满足 $|AP|=R$，则其关于 $y$ 轴的对称点 $P^{\prime }$ 也必在椭圆上且满足 $|A{P}^{\prime }|=R$。
• 逻辑转化：若圆与椭圆有 4 个公共点，则在 $y$ 轴左侧（或右侧）必然有两个不同的点 $P,Q$。
• 等价条件：由第一问的弦长公式，设 $P,Q$ 对应的直线斜率分别为 $k_1,k_2$。若 $|AP|=|AQ|$ 有两个不同正斜率解，则意味着存在圆与椭圆有 4 个公共点。我们要找的是其补集。
• 求离心率：根据 $a$ 的范围，利用 $e=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}$ 转化。

✅【答案】

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第（1）问弦长为2𝑎2|𝑘|√1+𝑘21+𝑎2𝑘2；第（2）问椭圆的离心率取值范围为0<𝑒⩽

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

联立直线方程与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{a^2}+y^2=1\end{array}⟹\frac{x^2}{a^2}+(kx+1{)}^2=1$ 整理得：$(1+a^2{k}^2)x^2+2a^{2}kx=0$。 解得 $x_1=0$，$x_2=-\frac{2a^{2}k}{1+a^2{k}^2}$。 则弦长为： $L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{2a^2|k|}{1+a^2{k}^2}$ 故直线被椭圆截得的弦长为 $\frac{2a^2|k|\sqrt{1+k^2}}{1+a^2{k}^2}$。

(2)解：

假设以 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆有 4 个公共点。 由对称性，设 $y$ 轴左侧有两个不同的点 $P,Q$ 满足 $|AP|=|AQ|=R$。 设直线 $AP,AQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，由(1)可知： $\frac{2a^2{k}_1\sqrt{1+k_1^2}}{1+a^2{k}_1^2}=\frac{2a^2{k}_2\sqrt{1+k_2^2}}{1+a^2{k}_2^2}=R$ 平方整理并化简（利用 $k_1^2\ne k_2^2$）： 得 $\frac{k_1^2(1+k_1^2)}{(1+a^2{k}_1^2{)}^2}=\frac{k_2^2(1+k_2^2)}{(1+a^2{k}_2^2{)}^2}$。 令 $f(u)=\frac{u(1+u)}{(1+a^{2}u{)}^2}$ ($u=k^2>0$)。若方程 $f(u)=\lambda$ 有两个不同的正根， 则其导函数 $f^{\prime }(u)=\frac{(1+2u)(1+a^{2}u{)}^2-2a^2(1+a^{2}u)(u+u^2)}{(1+a^{2}u{)}^4}$ 必须有变号零点。 化简分子得：$(1+2u)(1+a^{2}u)-2a^2(u+u^2)=1+a^{2}u+2u+2a^2{u}^2-2a^{2}u-2a^2{u}^2=1+(2-a^2)u$。

1. 当 $2-a^2\ge 0$ 即 $1<a\le \sqrt{2}$ 时，$f^{\prime }(u)>0$，$f(u)$ 单调递增，方程无两异根，公共点至多 3 个。
2. 当 $a>\sqrt{2}$ 时，存在 $u$ 使得 $f^{\prime }(u)<0$，函数先增后减，此时存在圆与椭圆有 4 个公共点。 因此，满足条件的充要条件是 $1<a\le \sqrt{2}$。

离心率计算： $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}=\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}$ 因为 $1<a^2\le 2$，所以 $0<1-\frac{1}{a^2}\le \frac{1}{2}$。 故 $0<e\le \frac{\sqrt{2}}{2}$。

椭圆离心率的取值范围是 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 临界位置的把握：圆与椭圆公共点个数的变化，往往发生在圆在顶点处的曲率与椭圆曲率相等的时刻。本题通过代数方程有无两根来替代曲率分析，更符合高中数学解题习惯。

• 参数 $a$ 的范围确定：注意到 $a>1$ 是题目给定的基础前提。

• 计算技巧：在处理 $|AP|=|AQ|$ 时，直接对弦长公式平方并引入新变量 $u=k^2$ 是化繁为简的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若椭圆改为长轴在 $y$ 轴上，圆心仍在 $(0,1)$，结论会如何变化？
• 结论推广：圆心在椭圆顶点时，圆与椭圆的交点个数取决于圆半径与椭圆在该顶点处曲率半径的大小关系。若圆半径小于曲率半径，则交点个数受限。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)