2017-上海卷-02 填-排列数

本题导读

本题考查排列及排列数公式。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 若排列数 $A_6^m=6\times 5\times 4$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾排列数公式：排列数 $A_n^m$ 的定义是从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有排列的个数。其展开式为： $A_n^m=n(n-1)(n-2)\dots (n-m+1)$ 共有 $m$ 个连续整数相乘。
2. 对比已知等式：题目给出 $A_6^m=6\times 5\times 4$。
3. 确定 $m$ 值：

• 方法一（因式个数法）：右侧共有 $6,5,4$ 三个因式，故 $m=3$。
• 方法二（末项法）：根据公式末项 $n-m+1=4$，代入 $n=6$ 得 $6-m+1=4$，解得 $m=3$。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 3 【解析过程】 根据排列数公式的乘积形式： $A_6^m=6\times 5\times \cdots \times (6-m+1)$ 已知 $A_6^m=6\times 5\times 4$ 对比可知，乘积项共有 3 项， 所以 $m=3$。 （或由 $6-m+1=4$ 解得 $m=3$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式要点：排列数 $A_n^m$ 是从 $n$ 开始往下乘，$m$ 决定了乘多少个数。
• 常见误区：
• 混淆排列 $A_n^m$ 与组合 $C_n^m$（组合数需要再除以 $m!$）。
• 对末项公式 $n-m+1$ 记忆模糊，建议通过“项数”来直观判定。
• 此类题目属于“送分题”，只要对基本概念有初步了解即可快速作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为组合数 $C_6^m=20$，则 $m$ 等于多少？（提示：$C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$，故 $m=3$）。
2. 知识关联：当 $m=n$ 时，$A_n^n=n!$，称为全排列。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-06 单-排列数与组合数方程
• 1995-全国卷文-15 单-排列数的实际应用（三位偶数）
• 2013-四川卷理-08 单-排列与排列数