2016-全国卷III理-12 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合、卡特兰数（Catalan number），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 定义“规范 01 数列” $\{a_n\}$ 如下：$\{a_n\}$ 共有 $2m$ 项，其中 $m$ 项为 0，$m$ 项为 1，且对任意 $k\le 2m$，$a_1,a_2,\dots ,a_k$ 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 $m=4$，则不同的“规范 01 数列”共有 ()

A. 18 个　　　　　B. 16 个　　　　　C. 14 个　　　　　D. 12 个

🔍【思路分析】

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1. 理解新定义：

• 总项数为 8（4个0，4个1）。
• 核心限制：任意前 $k$ 项中，0 的个数 $\ge$ 1 的个数。
• 这意味着数列必须以 0 开头，且 1 的出现受到 0 的积累量的限制。

2. 解题策略：

• 方法一（枚举法）：按树状图或分类讨论进行枚举，确保“不重不漏”。
• 方法二（数学模型法）：此问题等同于“买票找零问题”或“出栈序列问题”，其结果满足卡特兰数公式 $C_m=\frac{1}{m+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)$。

3. 计算过程：代入 $m=4$ 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：枚举法（部分展示逻辑）

• 第一项必为 0。
• 若前两项为 (0,0)，后续可能性较多；若前两项为 (0,1)，则第三项必为 0。
• 列举所有满足条件的数列：

1. 0,0,0,0,1,1,1,1
2. 0,0,0,1,0,1,1,1
3. 0,0,0,1,1,0,1,1
4. 0,0,0,1,1,1,0,1
5. 0,0,1,0,0,1,1,1
6. 0,0,1,0,1,0,1,1
7. 0,0,1,0,1,1,0,1
8. 0,0,1,1,0,0,1,1
9. 0,0,1,1,0,1,0,1
10. 0,1,0,0,0,1,1,1
11. 0,1,0,0,1,0,1,1
12. 0,1,0,0,1,1,0,1
13. 0,1,0,1,0,0,1,1
14. 0,1,0,1,0,1,0,1 共计 14 个。

解法二：公式法（卡特兰数） 该数列特征完全符合卡特兰数的定义。当 $m=4$ 时，不同的数列个数为： $C_4=\frac{1}{4+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=\frac{1}{5}\times \frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=\frac{70}{5}=14$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 知识背景：卡特兰数是组合数学中常见的一类数列，常出现在括号匹配、不穿过对角线的网格路径、多边形三角剖分等模型中。
• 易错提醒：枚举时容易漏掉中间部分的限制。例如 0,0,1,1,1,0,0,1 就不合要求，因为前 5 项中 1 的个数（3个）超过了 0 的个数（2个）。
• 结论总结：对于这类“任意时刻 A 不少于 B”的计数问题，优先考虑卡特兰数模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $m=3$，则个数为 $C_3=\frac{1}{4}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=5$ 个。
• 知识关联：在坐标系中，这可以看作是从 $(0,0)$ 走到 $(4,4)$，每次只能向右（代表0）或向上（代表1）走一步，且路径不能经过直线 $y=x$ 上方的点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-06 单-排列组合
• 2017-浙江卷-16 填-排列组合
• 2017-上海卷-02 填-排列数

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