2017-全国卷I文-08 单-函数奇偶性

本题导读

考查利用函数的奇偶性及特殊点符号来辨识函数图象的综合应用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 函数 $y=\frac{\sin 2x}{1-\cos x}$ 的部分图象大致为 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数的定义域：分母 $1-\cos x\ne 0⟹x\ne 2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)。
2. 分析函数的奇偶性：设 $f(x)=\frac{\sin 2x}{1-\cos x}$，考察 $f(-x)$： $f(-x)=\frac{\sin (-2x)}{1-\cos (-x)}=\frac{-\sin 2x}{1-\cos x}=-f(x)$， 说明该函数是奇函数，其图象关于原点对称。
3. 代入特殊值检验：当 $x\in (0,\pi )$ 时，$\sin 2x>0$ 且 $1-\cos x>0$，故 $f(x)>0$（图象在 $x$ 轴上方）。排除不符合的选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先考查函数的奇偶性： 因为 $f(-x)=\frac{\sin (-2x)}{1-\cos (-x)}=\frac{-\sin 2x}{1-\cos x}=-f(x)$， 所以 $f(x)$ 是奇函数，图象关于原点对称。观察选项，图象均关于原点对称。 在 $x\in (0,\pi )$ 内，$\sin 2x$ 可正可负（在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时大于0，在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时小于0），分母 $1-\cos x>0$ 恒成立。 当 $x\to 0^{+}$ 时，$\sin 2x\approx 2x$，$1-\cos x\approx \frac{x^2}{2}$，则 $\frac{2x}{x^2/2}=\frac{4}{x}>0$，即当 $x$ 从右侧趋近于 0 时，$y\to +\infty$。 结合这些性质可锁定正确图象。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 函数奇偶性、函数图象辨识。
2. 核心方法: 奇偶性排除法与极限趋势判断法。
3. 避坑指南: 审题时注意分母不为零的定义域限制及特殊区间内函数值的正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数图象识别经典题。
2. 结论推广: 识别复杂函数图象时，优先考察定义域、奇偶性、周期性及特殊点的函数值与符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性