2017-全国卷I文-15 填-两角和差

本题导读

考查同角三角函数关系以及两角差的余弦公式的综合应用，属于常规三角恒等变换题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\tan \alpha =2$，则 $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用两角差的余弦公式展开：$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha +\sin \alpha )$。
2. 由 $\tan \alpha =2$ 且 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，利用同角三角函数关系 $\sin \alpha =2\cos \alpha$ 结合 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求出 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的值，或者直接利用齐次式弦切互化求解。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

展开目标式： $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha +\sin \alpha )$。 因为 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$，所以 $\sin \alpha =2\cos \alpha$。 代入平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$： $(2\cos \alpha {)}^2+{\cos }^2\alpha =1⟹5{\cos }^2\alpha =1⟹{\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$。 因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos \alpha >0$，从而 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$。 进而 $\sin \alpha =2\cos \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 将 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 代入展开式： $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角差余弦公式、同角三角函数关系。
2. 核心方法：弦切互化与方程联立求正余弦。
3. 避坑指南：开平方时必须根据角 $\alpha$ 所在的象限（第一象限）准确判定正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数恒等变换经典填空题。
2. 结论推广: 已知正切值求三角函数线性组合的值，常通过将分子分母同除以 $\cos \alpha$ 化为关于 $\tan \alpha$ 的分式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-15 填-两角和差
• 2019-上海卷-16 单-两角和差
• 2019-江苏卷-13 填-两角和差