2017-全国卷I文-18 解-面面垂直

本题导读

考查立体几何中面面垂直的证明、空间几何体体积的计算以及多面体侧面积的求解。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，且 $\angle BAP=\angle CDP=90^{\circ }$.

(1) 证明：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$；

(2) 若 $PA=PD=AB=DC$，$\angle APD=90^{\circ }$，且四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为 $\frac{8}{3}$，求该四棱锥的侧面积.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：由 $\angle BAP=90^{\circ }$ 可知 $AB\perp AP$；结合 $AB\parallel CD$ 及 $\angle CDP=90^{\circ }$ 可推得 $AB\perp DP$；进而证得 $AB\perp$ 平面 $PAD$，从而得出平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$。
2. 第(2)问：设 $PA=PD=AB=DC=a$，由 $\angle APD=90^{\circ }$ 求出 $AD$。利用面面垂直性质确定高，结合体积公式求出 $a=2$，最后计算四个侧面的面积并求和。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $S_{\text{侧}}=6+2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $\angle BAP=90^{\circ }$，所以 $AB\perp AP$。 又因为 $AB\parallel CD$，且 $\angle CDP=90^{\circ }$，所以 $CD\perp DP$，从而 $AB\perp DP$。 因为 $AP\cap DP=P$，且 $AP\subset$ 平面 $PAD$，$DP\subset$ 平面 $PAD$， 所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $PAB$， 所以平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$。

(2) 解： 设 $PA=PD=AB=DC=a$. 在 $\text{Rt}△PAD$ 中，$\angle APD=90^{\circ }$，$PA=PD=a$， 可得 $AD=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$. 取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $PO$，则 $PO\perp AD$，且 $PO=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}a$. 由(1)知 $AB\perp$ 平面 $PAD$，又 $PO\subset$ 平面 $PAD$，故 $AB\perp PO$， 从而 $PO\perp$ 平面 $ABCD$，即 $PO$ 为四棱锥的高。 底面 $ABCD$ 是直角梯形，面积为： $S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AD=\frac{1}{2}(a+a)\cdot \sqrt{2}a=\sqrt{2}{a}^2$. 四棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot PO=\frac{1}{3}(\sqrt{2}{a}^2)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)=\frac{1}{3}{a}^3$. 已知体积为 $\frac{8}{3}$，即 $\frac{1}{3}{a}^3=\frac{8}{3}⟹a=2$. 此时各边长均为 2：

• $△PAB$ 为直角三角形，面积 $S_{△PAB}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$；
• $△PDC$ 为直角三角形，面积 $S_{△PDC}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$；
• $△PAD$ 为等腰直角三角形，面积 $S_{△PAD}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$；
• $△PBC$ 中，$PB=PC=2\sqrt{2}$，$BC=2\sqrt{2}$，为边长 $2\sqrt{2}$ 的等边三角形，面积 $S_{△PBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (2\sqrt{2}{)}^2=2\sqrt{3}$. 因此，该四棱锥的侧面积为： $S_{\text{侧}}=S_{△PAB}+S_{△PDC}+S_{△PAD}+S_{△PBC}=2+2+2+2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直判定、几何体体积、多面体表面积。
2. 核心方法：线面垂直转化为面面垂直，利用等腰三角形性质确定几何体高。
3. 避坑指南：计算侧面积时切勿漏掉底面边缘构成的三角形 $△PBC$ 的面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题常考题型。
2. 结论推广: 垂直于同一平面的平行线在求锥体高度时具有天然的转化优势。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

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