2018-全国卷I理-18 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间位置关系的证明。核心在于几何运算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$E,F$ 分别为 $AD,BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把 $△DFC$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF\perp BF$.

(1) 证明：平面 $PEF\perp$ 平面 $ABFD$；

(2) 求 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.


🔍【思路分析】

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1. 第一问（面面垂直）：

• 目标：证明平面 $PEF\perp$ 平面 $ABFD$。
• 关键寻找线面垂直：观察发现 $BF\perp EF$（正方形性质）且 $BF\perp PF$（已知条件）。
• 结论：由于 $EF,PF$ 都在平面 $PEF$ 内且相交，故 $BF\perp$ 平面 $PEF$。再根据面面垂直判定定理即可得证。

2. 第二问（线面角）：

• 折叠性质：折叠前 $DC\perp CF$，折叠后 $DP\perp PF$（或通过 $PD,PE,PF$ 的长度关系判定）。
• 建系：由(1)知平面 $PEF\perp$ 基面，可作 $PH\perp EF$ 于 $H$，则 $PH\perp$ 平面 $ABFD$。以 $H$ 为原点建立空间直角坐标系。
• 坐标计算：计算点 $P,D$ 的坐标，求出向量 $\overrightarrow{DP}$。平面 $ABFD$ 的法向量可取 $\vec{n}=(0,0,1)$。
• 求角：$\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{DP},\vec{n}⟩|$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 因为四边形 $ABCD$ 为正方形，$E,F$ 分别为 $AD,BC$ 的中点， 所以 $AB\parallel EF\parallel CD$，且 $EF\perp BC$。 即 $BF\perp EF$。 又已知 $BF\perp PF$，且 $EF\cap PF=F$，$EF,PF\subset$ 平面 $PEF$。 所以 $BF\perp$ 平面 $PEF$。 又因为 $BF\subset$ 平面 $ABFD$， 所以 平面 $PEF\perp$ 平面 $ABFD$。

(2)解： 设正方形棱长为 2。则 $PF=FC=1$，$EF=2$，$CD=2$。 在 $△PDE$ 中，$PD=CD=2$，$DE=1$。 由于平面 $PEF\perp$ 平面 $ABFD$，且 $EF$ 为交线。 在平面 $PEF$ 内，作 $PH\perp EF$ 于 $H$，则 $PH\perp$ 平面 $ABFD$。 在 $△PEF$ 中，易知 $PE=\sqrt{P{D}^2-D{E}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 因为 $P{E}^2+P{F}^2=3+1=4=E{F}^2$，所以 $△PEF$ 是直角三角形，且 $\angle EPF=90^{\circ }$。 由等面积法或射影定理可得： $PH=\frac{PE\cdot PF}{EF}=\frac{\sqrt{3}\cdot 1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $FH=\sqrt{P{F}^2-P{H}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$。 以 $H$ 为坐标原点，$HF$ 方向为 $x$ 轴，$H$ 点在平面 $ABFD$ 内垂直于 $EF$ 的方向为 $y$ 轴，$HP$ 方向为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。

则 $P(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$F(\frac{1}{2},0,0)$，$E(-\frac{3}{2},0,0)$，$D(-\frac{3}{2},1,0)$。 向量 $\overrightarrow{DP}=(\frac{3}{2},-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 平面 $ABFD$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(0,0,1)$。 设 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{DP},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{DP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\vec{n}|}$ $\sin \theta =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2+(-1{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}\cdot 1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}+1+\frac{3}{4}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 所以 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 折叠中的垂直关系：折痕 $DF$ 垂直于原平面中的某些直线吗？不一定。但折叠前 $CF\perp CD$ 这一条件，在折叠后变成了 $PF\perp PD$ 的隐含条件（本题通过边长关系验证）。
2. 建系的择优：在有面面垂直的情况下，以交线上的垂足为原点建系是最方便的。
3. 线面角的计算：注意 $\sin \theta$ 对应的是向量与法向量夹角的余弦值的绝对值，不要记反公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个 Checklist：

• 不变的量：折叠部分内部的边长、角度、垂直关系。
• 变化的量：折叠部分与未折叠部分之间的夹角、距离、平行/垂直关系。
• 解题切入点：寻找折痕（轴），利用折痕两侧的几何关系建立空间感。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直