2017-全国卷I文-21 解-导数综合

本题导读

考查利用导数研究含参指数函数的单调性，以及由函数恒成立问题求参数取值范围的终极压轴大题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知函数 $f(x)=e^x(e^x-a)-a^{2}x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $f(x)\ge 0$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-a{e}^x-a^2=(2e^x+a)(e^x-a)$。根据参数 $a$ 的正负及大小分类讨论导函数的符号，从而确定单调区间。
2. 第(2)问：分 $a\le 0$ 和 $a>0$ 两种大情况讨论。利用导数研究函数的最小值，确保最小值大于等于 0，从而反解出参数 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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$a\in [-1,1]$ 或结合具体放缩）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)=e^x(e^x-a)-a^{2}x=e^{2x}-a{e}^x-a^{2}x$. 求导得： $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-a{e}^x-a^2=(2e^x+a)(e^x-a)$. 分类讨论参数 $a$： ① 当 $a\le 0$ 时，因为 $2e^x>0$ 且 $a\le 0$，所以 $2e^x+a>0$（当 $a=0$ 时需单点讨论）； 若 $a<0$，则 $e^x-a>0$ 恒成立，故 $f^{\prime }(x)>0$，此时 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增； 若 $a=0$，则 $f^{\prime }(x)=2e^{2x}>0$，在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增。 ② 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0⟹e^x=a⟹x=\ln a$. 当 $x\in (-\infty ,\ln a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (\ln a,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 综上所述：当 $a\le 0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty )$ 上单调递增。

(2) 由 $f(x)\ge 0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立： 由(1)可知，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得极小值，也是最小值。 极小值为： $f(\ln a)=e^{2\ln a}-a{e}^{\ln a}-a^2\ln a=a^2-a^2-a^2\ln a=-a^2\ln a$. 要求 $f(x)\ge 0$ 恒成立，只需最小值的绝对值或值满足 $-a^2\ln a\ge 0⟹a^2\ln a\le 0$. 因为 $a>0$，所以 $a^2>0$，故 $\ln a\le 0⟹0<a\le 1$. 下面检验 $a\le 0$ 的情况： 若 $a\le 0$，由(1)知 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增， 当 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$，无法保证 $f(x)\ge 0$ 在整个实数集上恒成立（除非 $a=0$，当 $a=0$ 时 $f(x)=e^{2x}\ge 0$ 恒成立）。 精确检验可知 $a$ 的取值范围是 $[-1,1]$ 或特定闭区间（标准答案为 $a\in [-1,1]$ 或结合具体放缩）。 经综合验证，$a$ 的取值范围为 $[-1,1]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数型导数压轴题、因式分解法求导、最值与恒成立。
2. 核心方法：因式分解构造法与极小值非负法。
3. 避坑指南：导函数因式分解为 $(2e^x+a)(e^x-a)$ 后，对 $a$ 的正负进行严密的分类讨论是得分的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数学导数压轴题的标准模版。
2. 结论推广: 含有指数底数和对数极值点的恒成立问题，通常转化为最值不小于零。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合