2017-全国卷I理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及指数不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知集合 $A=\{x\mid x<1\}$，$B=\{x\mid 3^x<1\}$，则 ()

A. $A\cap B=\{x\mid x<0\}$　　B. $A\cup B=\mathbb{R}$　　C. $A\cup B=\{x\mid x>1\}$　　D. $A\cap B=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $B$：由 $3^x<1$ 可知 $3^x<3^0$。由于底数 $3>1$，指数函数 $y=3^x$ 单调递增，故 $x<0$。即 $B=\{x\mid x<0\}$。
2. 集合运算：

• 比较 $A$ 与 $B$ 的范围：$B=(-\infty ,0)$，$A=(-\infty ,1)$。
• 显然 $B⊊A$（B 是 A 的真子集）。

3. 得出结论：

• 交集 $A\cap B=B=\{x\mid x<0\}$。
• 并集 $A\cup B=A=\{x\mid x<1\}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 由 $3^x<1$ 得 $3^x<3^0$。 因为 $y=3^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，所以 $x<0$。 即 $B=\{x\mid x<0\}$。 又 $A=\{x\mid x<1\}$， 在数轴上表示出两集合：

• 集合 $A$ 为 1 左向的所有实数；
• 集合 $B$ 为 0 左向的所有实数。 由图可知 $B\subset A$， 所以 $A\cap B=B=\{x\mid x<0\}$； $A\cup B=A=\{x\mid x<1\}$。 分析选项： A 选项：$A\cap B=\{x\mid x<0\}$，正确； B 选项：$A\cup B\ne \mathbb{R}$，错误； C 选项：$A\cup B\ne \{x\mid x>1\}$，错误； D 选项：$A\cap B\ne \varnothing$，错误。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 指数函数单调性：这是化简集合的关键。
• 包含关系简化运算：若已知 $B\subset A$，则 $A\cap B=B$，$A\cup B=A$。这在选择题中可以极大地提高解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变换底数： 若将条件改为 $B=\{x\mid (\frac{1}{3}{)}^x<1\}$，结果会如何？ 解析：此时 $(\frac{1}{3}{)}^x<(\frac{1}{3}{)}^0$。由于底数 $0<\frac{1}{3}<1$，指数函数 $y=(\frac{1}{3}{)}^x$ 是减函数。 脱去底数时不等号方向需反向，得 $x>0$。 此时 $A\cap B=\{x\mid 0<x<1\}$，$A\cup B=\mathbb{R}$。

2. 集合表示的规范： 在填空题中，要注意区间符号与集合大括号的规范书写。例如 $\{x\mid x<0\}$ 也可以写成 $(-\infty ,0)$，但不能写成 $\{x<0\}$（缺少变量定义）。

3. 复合不等式： 如果题目改为 $3^{|x|}<1$，则该集合 $B$ 为空集 $\varnothing$（因为 $3^{|x|}\ge 3^0=1$），此时 $A\cap B=\varnothing$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-01 单-集合
• 2014-湖南卷文-02 单-集合
• 2014-福建卷文-01 单-集合