2018-天津卷理-06 单-图象变换

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换，以及正弦型函数的解析式推导。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）将函数 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{5})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数()

A. 在区间 $[\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$ 上单调递增　　B. 在区间 $[\frac{3\pi }{4},\pi ]$ 上单调递减

C. 在区间 $[\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}]$ 上单调递增　　D. 在区间 $[\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ 上单调递减

🔍【思路分析】

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1. 求平移后的解析式：

• 遵循“左加右减”原则，且平移是针对自变量 $x$ 而言的。
• 向右平移 $\frac{\pi }{10}$，即将原解析式中的 $x$ 替换为 $(x-\frac{\pi }{10})$。
• 化简得到新的函数 $f(x)$。

2. 计算单调区间：

• 利用正弦函数 $y=\sin u$ 的单调性。
• 增区间：$2k\pi -\frac{\pi }{2}\le u\le 2k\pi +\frac{\pi }{2}$。
• 减区间：$2k\pi +\frac{\pi }{2}\le u\le 2k\pi +\frac{3\pi }{2}$。
• 将 $u=2x$ 代入不等式，解出 $x$ 的范围。

3. 对照选项：

• 取 $k$ 的特定整数值，观察所得区间是否包含或等于选项中的区间。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 函数变换： 将 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{5})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，得到： $y=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{10}\right)+\frac{\pi }{5}\right]$ 展开并化简： $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}+\frac{\pi }{5}\right)=\sin 2x$
2. 求单调递增区间： 令 $2k\pi -\frac{\pi }{2}\le 2x\le 2k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$） 两边同时除以 2，得： $k\pi -\frac{\pi }{4}\le x\le k\pi +\frac{\pi }{4}$ 当 $k=1$ 时，增区间为 $[\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$。 对比选项，A 符合。
3. 求单调递减区间： 令 $2k\pi +\frac{\pi }{2}\le 2x\le 2k\pi +\frac{3\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$） 两边同时除以 2，得： $k\pi +\frac{\pi }{4}\le x\le k\pi +\frac{3\pi }{4}$ 当 $k=1$ 时，减区间为 $[\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}]$。 对比选项 B, D，均不在其减区间内。选项 C 在减区间内，而非增区间。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 平移变换的陷阱：平移变换一定是针对 $x$ 本身。公式为 $y=f(\omega (x\pm \varphi )+\phi )$。很多同学会直接在常数项后面加减（如 $2x+\frac{\pi }{5}-\frac{\pi }{10}$），这是错误的。
2. 整体代换思想：求 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的单调性，把 $\omega x+\phi$ 看作一个整体 $u$，代入 $y=\sin u$ 的基本区间即可。
3. 区间包含关系：若函数在区间 $M$ 上单调，则在 $M$ 的任何子区间上也都单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

在笔记中可以记录这个“对称性”规律：

• $y=\sin 2x$ 的周期 $T=\pi$。
• 增区间长度为 $\frac{\pi }{2}$，减区间长度也为 $\frac{\pi }{2}$。
• 本题中平移后消掉了初相，变成了最简的正弦函数，大大降低了计算难度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-06 单-三角函数的图象变换
• 1990-全国卷理-15 单-函数图象的变换
• 2007-四川卷理-16 填-三角函数单调性