2017-全国卷I理-10 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与焦点弦性质，以及焦点弦长的极坐标表示。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知 $F$ 为抛物线 $C：y^2=4x$ 的焦点，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1,l_2$，直线 $l_1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $l_2$ 与 $C$ 交于 $D,E$ 两点，则 $|AB|+|DE|$ 的最小值为 ()

A. 16　　　　　　　B. 14　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线基本参数：由 $y^2=4x$ 知 $2p=4$，即 $p=2$。焦点 $F(1,0)$。
2. 焦点弦长公式：设直线 $l_1$ 的倾斜角为 $\theta$，则其焦点弦长为 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。
3. 互相垂直的转化：由于 $l_1\perp l_2$，直线 $l_2$ 的倾斜角为 $\theta +\frac{\pi }{2}$。其焦点弦长 $|DE|=\frac{2p}{{\sin }^2(\theta +\frac{\pi }{2})}=\frac{2p}{{\cos }^2\theta }$。
4. 构建函数并求最值：将总长度表示为 $\theta$ 的函数，利用基本不等式或三角恒等变换求最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 第一步：确定焦点弦长表达式 对于抛物线 $y^2=2px$，过焦点的弦长公式为 $L=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$（其中 $\theta$ 为直线倾斜角，$\theta \ne 0$）。 本题中 $p=2$，故： $|AB|=\frac{4}{{\sin }^2\theta }$ 因为 $l_1\perp l_2$，直线 $l_2$ 的倾斜角可视为 $\theta +\frac{\pi }{2}$，则： $|DE|=\frac{4}{{\sin }^2(\theta +\frac{\pi }{2})}=\frac{4}{{\cos }^2\theta }$

第二步：求和并变形 $|AB|+|DE|=\frac{4}{{\sin }^2\theta }+\frac{4}{{\cos }^2\theta }=4\left(\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }\right)=\frac{4}{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }$ 利用倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，即 ${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{{\sin }^{2}2\theta }{4}$。 代入得： $|AB|+|DE|=\frac{4}{\frac{{\sin }^{2}2\theta }{4}}=\frac{16}{{\sin }^{2}2\theta }$

第三步：确定最小值 由于 ${\sin }^{2}2\theta \le 1$， 所以 $|AB|+|DE|\ge \frac{16}{1}=16$。 当且仅当 ${\sin }^{2}2\theta =1$，即 $2\theta =\frac{\pi }{2}$，$\theta =\frac{\pi }{4}$ 时（即两直线与对称轴夹角为 $45^{\circ }$ 时），等号成立。 故 $|AB|+|DE|$ 的最小值为 16。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 焦点弦长公式的记忆：$\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$ 是解决此类问题的利器。如果忘记该公式，也可以通过设直线方程 $x=my+1$ 联立抛物线，结合韦达定理 $x_1+x_2+p$ 推导。
• 垂直关系在三角中的体现：倾斜角相差 $90^{\circ }$ 意味着正弦值与余弦值的互换。
• 结构特征：$\frac{1}{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ 这种结构在求最值时非常经典，最终转化为 $\sin 2\theta$ 的倒数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 推广结论： 对于抛物线 $y^2=2px$，过焦点的两条互相垂直的弦 $AB,DE$，则：

• $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|DE|}=\frac{1}{2p}$ （定值）。
• $|AB|+|DE|\ge 8p$ （本题即 $8\times 2=16$）。

2. 几何直观： 当两直线关于抛物线轴对称（夹角各为 $45^{\circ }$）时，图形最平衡，此时和最小。当其中一条直线趋于水平（倾斜角趋于 0）时，该弦长趋于无穷大，总和也趋于无穷大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线