2017-全国卷I理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的运算法则。核心在于分类讨论法、极限分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知函数 $f(x)=a{e}^{2x}+(a-2)e^x-x$.

(1)讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性）：

• 求导：$f^{\prime }(x)=2a{e}^{2x}+(a-2)e^x-1$。
• 关键技巧：观察发现该导函数可以因式分解为 $(a{e}^x-1)(2e^x+1)$。
• 分类讨论：由于 $2e^x+1$ 恒大于 0，只需讨论 $a{e}^x-1$ 的正负，进而讨论 $a\le 0$ 和 $a>0$ 两种情况。

2. 第二问（零点个数）：

• $a\le 0$ 时：由第一问知 $f(x)$ 单调递减，最多只有一个零点，排除。
• $a>0$ 时：$f(x)$ 先减后增，存在最小值 $f(-\ln a)$。若有两个零点，必须满足：
  • 最小值 $f(-\ln a)<0$。
  • 左端点 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$（或存在某点函数值大于 0）。
  • 右端点 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$。
• 通过解不等式 $f(-\ln a)<0$ 锁定 $a$ 的范围，并验证端点情况。

✅【答案】

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(1) $a\le 0$ 时 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减；$a>0$ 时在 $(-\infty ,-\ln a)$ 递减、$(-\ln a,+\infty )$ 递增

(2) $a\in (0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$， $f^{\prime }(x)=2a{e}^{2x}+(a-2)e^x-1=(a{e}^x-1)(2e^x+1)$。 （ⅰ）若 $a\le 0$，则 $a{e}^x-1<0$ 恒成立。 由于 $2e^x+1>0$，故 $f^{\prime }(x)<0$ 恒成立。 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递减。 （ⅱ）若 $a>0$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $e^x=\frac{1}{a}$，即 $x=-\ln a$。

• 当 $x\in (-\infty ,-\ln a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (-\ln a,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

(2)解： 由(1)可知： ① 若 $a\le 0$，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，至多有一个零点，不符合题意。 ② 若 $a>0$，$f(x)$ 在 $x=-\ln a$ 处取得最小值。 $f(-\ln a)=a(\frac{1}{a}{)}^2+(a-2)(\frac{1}{a})-(-\ln a)=\frac{1}{a}+1-\frac{2}{a}+\ln a=\ln a+1-\frac{1}{a}$。 设 $g(a)=\ln a+1-\frac{1}{a}$ ($a>0$)。 易知 $g(a)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 $g(1)=\ln 1+1-1=0$。

• 若 $a\ge 1$，则 $f(-\ln a)\ge 0$，$f(x)$ 只有一个零点或没有零点。
• 若 $0<a<1$，则 $f(-\ln a)<0$。此时：
  • 当 $x\to -\infty$ 时，$a{e}^{2x}\to 0$，$(a-2)e^x\to 0$，$-x\to +\infty$，故 $f(x)\to +\infty$。由零点存在性定理，在 $(-\infty ,-\ln a)$ 内必有一个零点。
  • 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)=e^{2x}[a+(a-2)e^{-x}-x{e}^{-2x}]\to +\infty$。由零点存在性定理，在 $(-\ln a,+\infty )$ 内必有一个零点。 综上所述，$a$ 的取值范围是 $(0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数分解：能否一眼看出 $2a{e}^{2x}+(a-2)e^x-1$ 的因式分解是能否快速进入第二问的关键。这需要对二次三项式的十字相乘法非常熟悉（把 $e^x$ 看作整体）。
• 最小值与 0 的关系：对于先减后增的函数，存在两个零点的必要条件是极小值小于 0。
• 边界值的说明：在解答题中，说明 $x\to \pm \infty$ 时的趋势是逻辑严密性的体现。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练： 若题目要求 $f(x)$ 只有一个零点，则 $a$ 的取值应为 $a=1$ 或 $a\le 0$。

2. 辅助函数的构造： 第二问中判断 $f(-\ln a)$ 的正负时，构造 $g(a)=\ln a+1-\frac{1}{a}$ 是非常标准的做法。这种“函数套函数”的分析是压轴题的常态。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合