2017-全国卷I理-22 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化。核心在于消参法、三角代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a+4t\\ y=1-t\end{array}$（$t$ 为参数）.

(1)若 $a=-1$，求 $C$ 与 $l$ 的交点坐标；

(2)若 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最大值为 $\sqrt{17}$，求 $a$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求交点）：

• 消参：利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 将曲线 $C$ 化为普通方程（椭圆）；消去 $t$ 将直线 $l$ 化为一般式方程。
• 联立：将直线方程代入椭圆方程，解得 $x,y$ 的值。

2. 第二问（距离最值逆推）：

• 设点：利用曲线 $C$ 的参数方程，设其上任意一点为 $P(3\cos \theta ,\sin \theta )$。
• 建立距离公式：利用点到直线 $l$ 的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
• 三角化简：将距离 $d$ 表示为关于 $\theta$ 的三角函数，利用辅助角公式合并。
• 求解 $a$：根据 $d_{\max }=\sqrt{17}$ 建立关于 $a$ 的方程，注意绝对值的讨论。

✅【答案】

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(1) $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25},\frac{24}{25}\right)$

(2) $a=8$ 或 $a=-16$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$，消去参数 $\theta$ 得：$\frac{x^2}{9}+y^2=1$。 当 $a=-1$ 时，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=1-t\end{array}$。 消去参数 $t$ 得：$x+4y-3=0$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x+4y-3=0\\ \frac{x^2}{9}+y^2=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3-4y\\ \frac{(3-4y{)}^2}{9}+y^2=1\end{array}$ 化简得：$25y^2-24y=0$，解得 $y_1=0,y_2=\frac{24}{25}$。 代入 $x=3-4y$：

• 当 $y=0$ 时，$x=3$；
• 当 $y=\frac{24}{25}$ 时，$x=3-\frac{96}{25}=-\frac{21}{25}$。 故 $C$ 与 $l$ 的交点坐标为 $(3,0)$ 和 $(-\frac{21}{25},\frac{24}{25})$。

(2)解： 直线 $l$ 的普通方程为 $x+4y-(a+4)=0$。 设曲线 $C$ 上任意一点为 $P(3\cos \theta ,\sin \theta )$，则 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|3\cos \theta +4\sin \theta -(a+4)|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{|5\sin (\theta +\phi )-(a+4)|}{\sqrt{17}}$ 其中 $\tan \phi =\frac{3}{4}$。 由正弦函数的性质知，$5\sin (\theta +\phi )$ 的取值范围是 $[-5,5]$。 则 $d$ 的最大值为： $d_{\max }=\frac{|a+4|+5}{\sqrt{17}}$ 根据题意，$d_{\max }=\sqrt{17}$，则： $\frac{|a+4|+5}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}\Rightarrow |a+4|+5=17$ $|a+4|=12$ 解得 $a+4=12$ 或 $a+4=-12$。 即 $a=8$ 或 $a=-16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 消参技巧：椭圆参数方程消参用平方和，直线参数方程消参用代入法。
• 距离公式与三角换元：这是解决“圆/椭圆上的点到直线距离”的通用模板，比联立判别式法要简便得多。
• 绝对值处理：在求 $|M-N|$ 的最大值时，若 $M$ 的范围是对称的（如 $[-5,5]$），其最大值通常为 $|N|+|M{|}_{\max }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程
• 2014-新课标I卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程