2017-全国卷II理-02 单-集合

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及一元二次方程的根与系数的关系。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 设集合 $A=\{1,2,4\}$，$B=\{x|x^2-4x+m=0\}$.若 $A\cap B=\{1\}$，则 $B=$ ()

A. $\{1,-3\}$　　　　　B. $\{1,0\}$　　　　　C. $\{1,3\}$　　　　　D. $\{1,5\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解交集含义：已知 $A\cap B=\{1\}$，根据交集的定义，元素 $1$ 既属于集合 $A$，也属于集合 $B$。
2. 确定参数 $m$：因为 $1\in B$，所以 $x=1$ 是方程 $x^2-4x+m=0$ 的一个根。将 $x=1$ 代入方程即可求出 $m$ 的值。
3. 求解集合 $B$：得到完整的方程后，解出方程的另一个根，从而写出集合 $B$。
4. 验证唯一性：注意题目条件 $A\cap B=\{1\}$，意味着集合 $B$ 中的另一个元素不能是 $2$ 或 $4$（否则交集会变大）。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $A\cap B=\{1\}$，所以 $1\in B$。 将 $x=1$ 代入方程 $x^2-4x+m=0$ 得： $1^2-4\times 1+m=0$ 解得 $m=3$。 此时方程为 $x^2-4x+3=0$。 通过因式分解得 $(x-1)(x-3)=0$， 解得 $x_1=1,x_2=3$。 所以集合 $B=\{1,3\}$。 验证交集：$A\cap B=\{1,2,4\}\cap \{1,3\}=\{1\}$，符合题意。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程与集合的转化：描述法表示的集合 $B$ 本质上是方程的解集。
• 韦达定理的应用：也可以利用韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。已知一个根 $x_1=1$，则 $1+x_2=4$，直接得到 $x_2=3$。
• 陷阱防范：在更复杂的题目中，求出 $m$ 后务必检查 $\Delta \ge 0$ 以及交集是否真的只有 $\{1\}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 韦达定理秒杀法： 若 $x^2-4x+m=0$ 有一根为 $1$，设另一根为 $x_2$。 由根与系数的关系可知 $x_1+x_2=4$，即 $1+x_2=4\Rightarrow x_2=3$。 因此 $B=\{1,3\}$。这种方法无需计算 $m$。

2. 变式思考： 若题目改为 $A\cap B=\varnothing$，则需要满足方程无解 ($\Delta <0$) 或者方程的根都不在集合 $A$ 中。

3. 集合元素的互异性： 如果计算出方程有两个相同的实根（即 $\Delta =0$），则集合 $B$ 中只能写一个元素。但在本题中 $x_1\ne x_2$，符合集合规范。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-01 单-集合
• 2014-湖南卷文-02 单-集合
• 2014-福建卷文-01 单-集合