本题导读
本题考查简单线性规划，以及不等式组表示的平面区域。
📌【题干】
Question
（2017年全国卷II(理)） 设 满足约束条件 ，则 的最小值是 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 画出可行域：在平面直角坐标系中绘制三条直线 ，，。根据不等号方向确定三者围成的区域。
- 确定交点坐标：联立方程组求出可行域的三个顶点。
- 分析目标函数：将 看作直线 。当直线在 轴上的截距 越小时， 越小。
- 平移找最值：通过平移直线 ，观察在哪一个顶点处截距最小。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
解： 第一步：求可行域顶点
- 联立 ，解得顶点 。
- 联立 ，得 ，解得顶点 。
- 联立 ，得 ，解得顶点 。 所以可行域是以 为顶点的三角形区域。
第二步：代入目标函数计算 将三个顶点坐标分别代入 ：
- 对于点 ，；
- 对于点 ，；
- 对于点 ，。
第三步：确定最小值 比较可知， 的最小值为 。 故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 图解法 vs 代入法：在选择题中，求出所有顶点坐标并代入目标函数是最直接、出错率最低的方法。
- 目标函数的斜率：目标直线 的斜率为 。在平移时，需注意它与可行域各边界斜率的大小关系，以确保判断准确。
- 边界线实虚：本题中不等号均带等号，故边界线为实线，最值可在边界或顶点处取得。
📖【试题探源与推广】
Tip
1. 截距的正负关系： 若目标函数为 型：
- 若 ，则 与直线在 轴上的截距变化方向一致（截距最小， 最小）。
- 若 ，则 与直线在 轴上的截距变化方向相反（截距最大， 最小）。
2. 变式思考： 如果题目要求 的最小值，则物理意义是可行域内的点到原点距离的平方。此时最小值为原点到直线 或区域内最近点的距离平方。
3. 快速估算： 由于 ，且 在 时取得最小值 （由 推得），此时 极大概率在左下角点处取得最小值。
🔗【关联脉络】
Multi column