2017-全国卷II理-16 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及相似三角形与比例关系。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 已知 $F$ 是抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点，$M$ 是 $C$ 上一点，$FM$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$.若 $M$ 为 $FN$ 的中点，则 $|FN|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线基本量：由 $y^2=8x$ 知 $2p=8$，则 $p=4$，焦点 $F(2,0)$，准线方程为 $x=-2$。
2. 利用中点性质：已知 $M$ 是 $FN$ 的中点，且 $N$ 在 $y$ 轴上（即 $x_N=0$）。

• 根据中点坐标公式：$x_M=\frac{x_F+x_N}{2}=\frac{2+0}{2}=1$。

3. 利用抛物线定义：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。

• $|FM|=x_M+\frac{p}{2}=1+2=3$。

4. 求解全长：既然 $M$ 是 $FN$ 的中点，则 $|FN|=2|FM|$。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：分析抛物线几何要素 对于抛物线 $C:y^2=8x$，其 $p=4$。 焦点为 $F(2,0)$，准线 $l:x=-2$。

第二步：求点 $M$ 的横坐标 设 $M(x_M,y_M)$，$N(0,y_N)$，$F(2,0)$。 由于 $M$ 是线段 $FN$ 的中点，根据中点坐标公式，有： $x_M=\frac{x_F+x_N}{2}=\frac{2+0}{2}=1$

第三步：计算焦半径 $|FM|$ 根据抛物线的定义，点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离 $|FM|$ 等于点 $M$ 到准线 $x=-2$ 的距离。 $|FM|=x_M-(-2)=1+2=3$

第四步：求总长度 $|FN|$ 因为 $M$ 为 $FN$ 的中点，所以： $|FN|=2|FM|=2\times 3=6$

故答案为：$6$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义是灵魂：涉及抛物线焦点距离的问题，第一反应永远应是“点到焦点距离 = 点到准线距离”。
• 坐标关系的转化：本题巧妙之处在于 $N$ 在 $y$ 轴上，使得 $x_N=0$ 成为已知条件，从而直接锁定了 $M$ 的横坐标。
• 几何模型的简化：如果本题通过求直线 $FN$ 的方程再联立，计算量会成倍增加。利用横坐标的线性比例关系是处理此类“点在轴上/线段比例”问题的捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 相似三角形视角： 过 $M,F$ 分别向准线作垂线，垂足为 $M^{\prime },F^{\prime }$。 在直角梯形中，由于 $M$ 是 $FN$ 的中点，可以通过相似三角形或平行线等分线段定理推导。

2. 变式思考： 若题目改为“$N$ 在准线上”，则 $x_N=-2$，此时 $x_M=\frac{2-2}{2}=0$，点 $M$ 即为原点，$|FM|=2$，则 $|FN|=4$。

3. 名师提醒： 在解析几何中，凡是涉及到中点、比例、焦点、准线这几个关键词的，优先寻找几何性质，最后才考虑联立方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线