2017-全国卷III理-15 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的定义与性质，以及指数函数与一次函数的复合运算。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ 2^x,& x>0\end{array}$，则满足 $f(x)+f(x-\frac{1}{2})>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定临界点：

• 函数 $f(x)$ 的分界点是 $x=0$。
• 函数 $f(x-\frac{1}{2})$ 的分界点是 $x-\frac{1}{2}=0$，即 $x=\frac{1}{2}$。

2. 分类讨论区间：

• 需根据 $x$ 的取值范围分为三个区间讨论：$x\le 0$、 $0<x\le \frac{1}{2}$ 和 $x>\frac{1}{2}$。

3. 分段解不等式：

• 在每个区间内代入对应的解析式，解关于 $x$ 的不等式，并取解集与区间范围的交集。

4. 合并结果：将各区间所得解集取并集。

✅【答案】

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$(-\frac{1}{4},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一阶段：当 $x\le 0$ 时 此时 $x\le 0$ 且 $x-\frac{1}{2}<0$，对应的解析式均为 $x+1$。 $f(x)+f(x-\frac{1}{2})=(x+1)+(x-\frac{1}{2}+1)=2x+\frac{3}{2}$。 由 $2x+\frac{3}{2}>1$ 得 $2x>-\frac{1}{2}$，即 $x>-\frac{1}{4}$。 结合前提条件 $x\le 0$，得解集为 $(-\frac{1}{4},0]$。

第二阶段：当 $0<x\le \frac{1}{2}$ 时 此时 $x>0$（对应 $2^x$），且 $x-\frac{1}{2}\le 0$（对应 $x+1$）。 $f(x)+f(x-\frac{1}{2})=2^x+(x-\frac{1}{2}+1)=2^x+x+\frac{1}{2}$。 设 $g(x)=2^x+x+\frac{1}{2}$，其在 $(0,\frac{1}{2}]$ 上是增函数。 当 $x\to 0$ 时，$g(x)\to 2^0+0+\frac{1}{2}=1.5>1$。 所以在整个区间 $(0,\frac{1}{2}]$ 内，不等式均成立。 得解集为 $(0,\frac{1}{2}]$。

第三阶段：当 $x>\frac{1}{2}$ 时 此时 $x>0$ 且 $x-\frac{1}{2}>0$，对应的解析式均为 $2^x$。 $f(x)+f(x-\frac{1}{2})=2^x+2^{x-1/2}=2^x(1+\frac{1}{\sqrt{2}})>1$。 由于 $2^x>2^{1/2}=\sqrt{2}$，且 $1+\frac{1}{\sqrt{2}}>1$，乘积显然大于 1（实际大于 $1+\sqrt{2}$）。 所以在整个区间 $x>\frac{1}{2}$ 内，不等式均成立。 得解集为 $(\frac{1}{2},+\infty )$。


第四阶段：汇总结果 合并三个区间的解集：$(-\frac{1}{4},0]\cup (0,\frac{1}{2}]\cup (\frac{1}{2},+\infty )=(-\frac{1}{4},+\infty )$。

故答案为：$(-\frac{1}{4},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分段函数的复杂性：处理 $f(x)+f(g(x))$ 类型的不等式，最稳妥的方法是找到所有分界点并“切分”数轴。
• 单调性简便运算：在第二阶段中，利用函数的单调性和端点值可以快速判定区间内是否恒成立，避免解复杂的超越方程。
• 数形结合法：如解析中所述，也可以通过画出 $y=f(x-1/2)$ 和 $y=1-f(x)$ 的图象，观察交点位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：求 $f(x)+f(x-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$ 的解 根据解析中的第一阶段，$2x+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=0$。 根据第二阶段，$2^x+x+\frac{1}{2}=1.5\Rightarrow 2^x+x=1$。显然 $x=0$ 是唯一解。

2. 知识链接：图象平移 $f(x-1/2)$ 的图象是将 $f(x)$ 的图象向右平移 $1/2$ 个单位得到的。理解这一点有助于快速在脑海中建模。

3. 易错警示： 学生容易在分界点 $x=0$ 处漏掉区间交集，或者在处理 $x\in (0,1/2]$ 这一段时，因无法直接解出指数不等式而卡住。此时“估值”或“单调性判定”是核心技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数