2017-北京卷文-05 单-函数奇偶性

本题导读

考查指数型函数的奇偶性与单调性的综合判断。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=3^x-{\left(\frac{1}{3}\right)}^x$，则 $f(x)$ ()

A. 是偶函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是增函数

B. 是奇函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是增函数

C. 是偶函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是减函数

D. 是奇函数，且在 $\mathbf{R}$ 上是减函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用定义检验函数的奇偶性。
2. 利用指数函数的单调性判断函数的整体单调性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $\mathbf{R}$。 因为 $f(-x)=3^{-x}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-3^x=-\left(3^x-{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\right)=-f(x)$， 所以 $f(x)$ 是奇函数。 又因为 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数，$y=-{\left(\frac{1}{3}\right)}^x=-3^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上也是增函数， 所以 $f(x)=3^x-3^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性与单调性。
2. 核心方法：定义法与性质法结合。
3. 避坑指南：注意底数化简与指数运算法则的准确应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合基础题。
2. 结论推广: 若 $f(x)=a^x-a^{-x}$ ($a>1$)，则 $f(x)$ 必为奇函数且在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性