2017-北京卷文-14 填-线性规划

本题导读

考查根据实际条件列不等式组并求解整数最值问题，体现数学建模与逻辑推理素养。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数； ③ 教师人数的两倍多于男学生人数.

(1) 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为$\underline{}$；

(2) 该小组人数的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设男学生人数为 $x$，女学生人数为 $y$，教师人数为 $z$，其中 $x,y,z$ 均为正整数。
2. 根据条件列出不等式组：$\{\begin{array}{l}x>y\\ y>z\\ 2z>x\end{array}$，即 $z<y<x<2z$。
3. 针对第(1问)，代入 $z=4$ 求解 $y$ 的最大值；针对第(2)问)，结合正整数性质求 $x+y+z$ 的最小值。

✅【答案】

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(1) 6；(2) 12

✍【详细解析】

Abstract

设男学生人数为 $x$，女学生人数为 $y$，教师人数为 $z$，且 $x,y,z\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。 由题意可得不等式组： $\{\begin{array}{l}x>y\\ y>z\\ 2z>x\end{array}$，即 $z<y<x<2z$。 (1) 若教师人数 $z=4$，则 $4<y<x<8$。 因为 $x,y$ 均为整数，且 $y<x$， 要使女学生人数 $y$ 最大，可令 $x$ 取最大可能值 $7$，此时 $y$ 可以取到 $6$（因为 $4<y<7$，最大整数为 $6$，且当 $y=6,x=7$ 时满足 $6<7<8$）。 故女学生人数的最大值为 6。 (2) 求该小组总人数 $N=x+y+z$ 的最小值。 由 $z<y<x<2z$ 可知，若要总人数最小，教师人数 $z$ 需尽量小。 若 $z=1$，则 $1<y<x<2$，无整数解； 若 $z=2$，则 $2<y<x<4$，无整数解（因为在2和4之间没有两个连续或大小满足的整数 $y,x$ 使得 $z<y<x<2z$）； 若 $z=3$，则 $3<y<x<6$， 此时可取 $y=4$，$x=5$。 检验： $5>4$（成立），$4>3$（成立），$2\times 3=6>5$（成立）。 此时各群体人数分别为：教师 $z=3$，女学生 $y=4$，男学生 $x=5$。 总人数最小值为：$3+4+5=12$。 故答案为：(1) 6；(2) 12。

💡【考点归纳与避坑指南】

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1. 核心考点：不等式组整数解与最值。
2. 核心方法：不等式连锁放缩与整数枚举法。
3. 避坑指南：注意人数必须为正整数，且严格满足各项不等式限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考应用性不等式整数解经典考题。
2. 结论推广: 多元不等式整数规划问题通常通过确立主元范围进行逐步逼近。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划