2017-北京卷理-19 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于二阶导数法、单调性分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=e^x\cos x-x$.

(1)求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2)求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（切线方程）：

• 计算 $f(0)$ 得到切点的纵坐标。
• 对 $f(x)$ 求导，计算 $f^{\prime }(0)$ 得到切线的斜率 $k$。
• 利用点斜式方程 $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$ 写出结果。

2. 第二问（最值分析）：

• 求导：$f^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)-1$。
• 二阶导数：由于 $f^{\prime }(x)$ 的正负在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上不直观，设 $h(x)=f^{\prime }(x)$，对其再次求导得到 $f^{\prime \prime }(x)$。
• 判断 $f^{\prime }(x)$ 的单调性：通过 $f^{\prime \prime }(x)$ 的正负确定 $f^{\prime }(x)$ 的增减性。
• 判断 $f(x)$ 的单调性：结合 $f^{\prime }(0)$ 的值，确定 $f^{\prime }(x)$ 在区间上的整体正负，从而得出 $f(x)$ 的单调性，最后代入端点求最值。

, illustrating its strictly decreasing nature and showing the tangent line at x=0]

✅【答案】

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(1) $y=1$

(2) 最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $f(x)=e^x\cos x-x$， 所以 $f^{\prime }(x)=e^x\cos x+e^x(-\sin x)-1=e^x(\cos x-\sin x)-1$。 当 $x=0$ 时，$f(0)=e^0\cos 0-0=1$； $f^{\prime }(0)=e^0(\cos 0-\sin 0)-1=1(1-0)-1=0$。 所以，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线斜率为 $0$。 切线方程为 $y-1=0\times (x-0)$，即 $y=1$。

(2)解： 由(1)知 $f^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)-1$。 设 $h(x)=f^{\prime }(x)$，则 $h^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2e^x\sin x$。 因为 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，所以 $\sin x\ge 0,e^x>0$，故 $h^{\prime }(x)\le 0$。 所以 $h(x)$ 即 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递减。 又因为 $h(0)=f^{\prime }(0)=0$， 所以当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时，$f^{\prime }(x)\le f^{\prime }(0)=0$。 这意味着 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递减。

• 最大值：当 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $f(0)=1$；
• 最小值：当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $f(\frac{\pi }{2})=e^{\frac{\pi }{2}}\cos \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=0-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$。

结论：函数 $f(x)$ 在该区间上的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数工具性：导数的主要作用是分析单调性。当一次导数太复杂时，“二阶导数”是突破口。
• 端点效应：本题中 $f^{\prime }(0)=0$ 且导函数递减，直接锁定了导函数恒非正，这是非常精巧的题目设计。
• 三角函数符号：在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 区间内，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的正负及大小关系（如 $x=\frac{\pi }{4}$ 是 $\sin x=\cos x$ 的分界点）是常考点。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理“判断导函数正负”的三种常用武器：

1. 直接解不等式（适用于简单多项式或指数）。
2. 观察法（利用增减函数的和差性质）。
3. 再求导法（构造辅助函数，如本题）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合