2017-天津卷文-12 填-抛物线

本题导读

考查抛物线定义、圆的切线性质及几何图形中夹角关系的综合运用，属于较高难度的解析几何填空题。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$. 已知点 $C$ 在 $l$ 上，以 $C$ 为圆心的圆与 $y$ 轴的正半轴相切于点 $A$. 若 $\angle FAC=120^{\circ }$，则圆的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据抛物线 $y^2=4x$ 得焦点 $F(1,0)$，准线 $l:x=-1$。
2. 圆与 $y$ 轴正半轴相切于点 $A$，设切点 $A(0,y_A)$（$y_A>0$），由于圆心 $C$ 在准线 $x=-1$ 上，且圆与 $y$ 轴相切，故圆心 $C$ 的坐标为 $(-1,y_A)$，圆的半径 $r=1$。
3. 结合 $\angle FAC=120^{\circ }$ 及抛物线几何性质，利用向量或直角三角形边角关系列方程求出 $y_A$，进而写出圆的方程。

✅【答案】

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$(x+1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $y^2=4x$ 可知，焦点 $F(1,0)$，准线 $l:x=-1$。 圆心 $C$ 在准线 $l$ 上，设 $C(-1,y_0)$。圆与 $y$ 轴正半轴相切于点 $A$，说明圆与 $y$ 轴相切于 $(0,y_0)$，故切点 $A(0,y_0)$（$y_0>0$），圆的半径 $r=1$。 连接 $CA$，则 $CA\perp y$ 轴，且 $CA=1$（水平距离从 $x=-1$ 到 $x=0$）。 连接 $FA$。在 $△FAC$ 中，$F(1,0)$，$A(0,y_0)$，$C(-1,y_0)$。 各边长度： $F{C}^2=(1-(-1){)}^2+(0-y_0{)}^2=4+y_0^2$； $F{A}^2=(1-0{)}^2+(0-y_0{)}^2=1+y_0^2$（根据抛物线定义，若 $A$ 在抛物线上？题目中点 $A$ 是圆与 $y$ 轴的切点，未必在抛物线上，但 $F$ 到 $A$ 的距离为 $\sqrt{1+y_0^2}$）； $AC=0-(-1)=1$。 在 $△FAC$ 中，由余弦定理： $F{C}^2=F{A}^2+A{C}^2-2FA\cdot AC\cos 120^{\circ }$ $4+y_0^2=(1+y_0^2)+1^2-2\sqrt{1+y_0^2}\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ 化简得： $4+y_0^2=2+y_0^2+\sqrt{1+y_0^2}$ $2=\sqrt{1+y_0^2}$ 两边平方：$4=1+y_0^2⟹y_0^2=3⟹y_0=\sqrt{3}$（负值舍去，因 $A$ 在 $y$ 轴正半轴）。 因此，圆心坐标为 $C(-1,\sqrt{3})$，半径 $r=1$。 圆的标准方程为： $(x+1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=1$。 故答案为：$(x+1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线几何性质、圆的切线方程、余弦定理。
2. 核心方法：代数坐标法与余弦定理几何联立。
3. 避坑指南：准确理解切点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上的坐标特征（$x_A=0$，纵坐标与圆心纵坐标相同）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线与圆综合压轴填空题。
2. 结论推广: 涉及三角形内角与边长关系的几何问题，常通过余弦定理建立方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线