本题导读
考查根据实际应用问题列出线性约束条件、画出平面可行域，并利用线性规划求目标函数最值的经典综合应用题。
📌【题干】
Question
（2017年天津卷(文)） 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： （表格内容：甲剧场播放时长 70 分钟，广告 5 分钟，收视 60 万；乙剧场播放时长 60 分钟，广告 5 分钟，收视 25 万） 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1) 用 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
🔍【思路分析】
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- 第(1)问：根据表格及题意设 分别为甲、乙两剧每周播放次数（）。结合总播放时间、广告时间及次数限制列出不等式组，明确可行域。
- 第(2)问：建立总收视人次目标函数 ，通过在可行域内平移直线，寻找在整点（由于次数为整数）处取得最大值的点。
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满足条件的数学关系式（约束条件）为：$\begin{cases} 15x + 13y \leqslant 120, \ x + y \geqslant 6, \ x - 2y \leqslant 0, \ x \in \mathbf{N}, y \in \mathbf{N}. \end{cas
✍【详细解析】
Abstract
(1) 设每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数分别为 ，则 。 由题意可得约束条件： ① 总播放时间不多于 600 分钟：； ② 广告总播放时间不少于 30 分钟：； ③ 甲连续剧播放次数不多于乙播放次数的 2 倍：； ④ 显然次数满足非负性： 且均为整数。 综上，满足条件的数学关系式（约束条件）为： 相应的平面区域为由上述不等式组所确定的三角形及其内部的整点集合（图略）。
(2) 设总收视人次为 （万），则目标函数为： 。 将目标函数变形为斜截式：。 作直线 ，平移该直线，当直线经过可行域的某个顶点或边界整点时，截距 最大。 结合可行域边界： 直线 与 等边界构成的多边形顶点。 由于 必须为整数，我们在可行域内部及边界寻找整点： 当 时： （满足）； （满足）； （满足）。 此时收视人次 万。 检验其他边界整点： 若 ：（满足），（满足），（满足）， 此时 万。 若 ：（满足），，但 不成立（舍去）。 若 ：， ， 不成立。 经全面检查可行域内的整点，当 时，目标函数取得最大值： 万。 故电视台每周播出甲连续剧 5 次、乙连续剧 3 次时，总收视人次最多，最多为 375 万人次。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线性规划实际应用、整数规划最优解。
- 核心方法：图解法与整点检验法。
- 避坑指南：应用题中的变量通常具有实际意义（如次数必须为非负整数），求最值时切忌忽略整点限制，必要时需对交点附近的整点进行逐一验证。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 高考概率统计与线性规划结合的应用题常态。
- 结论推广: 线性规划中若要求整数解，通常先通过图形确定最值的大致区域，再对该区域内的整点进行精确代入比较。
🔗【关联脉络】
Multi column