2017-天津卷理-08 单-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的图象与性质，以及绝对值不等式的恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x+3,& x\le 1\\ x+\frac{2}{x},& x>1\end{array}$.设 $a\in \mathbb{R}$，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\ge |\frac{x}{2}+a|$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $[-\frac{47}{16},2]$　B. $[-\frac{47}{16},\frac{39}{16}]$　C. $[-2\sqrt{3},2]$　D. $[-2\sqrt{3},\frac{39}{16}]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等价转化：不等式 $f(x)\ge |\frac{x}{2}+a|$ 等价于： $-f(x)\le \frac{x}{2}+a\le f(x)⟺-f(x)-\frac{x}{2}\le a\le f(x)-\frac{x}{2}$。
2. 构造新函数：令 $g(x)=-f(x)-\frac{x}{2}$，$h(x)=f(x)-\frac{x}{2}$。 要使 $g(x)\le a\le h(x)$ 对 $\forall x\in \mathbb{R}$ 恒成立，则必有： $a\ge g(x{)}_{\max }$ 且 $a\le h(x{)}_{\min }$。
3. 分区间求解最值：

• 当 $x\le 1$ 时：
  • $g(x)=-(x^2-x+3)-\frac{x}{2}=-x^2+\frac{x}{2}-3$。配方求最大值。
  • $h(x)=(x^2-x+3)-\frac{x}{2}=x^2-\frac{3}{2}x+3$。配方求最小值。
• 当 $x>1$ 时：
  • $g(x)=-(x+\frac{2}{x})-\frac{x}{2}=-\frac{3}{2}x-\frac{2}{x}$。求最大值。
  • $h(x)=(x+\frac{2}{x})-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$。利用基本不等式求最小值。

4. 综合取交集：将各段得到的 $a$ 的限制条件汇总。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 由题意，$-f(x)-\frac{x}{2}\le a\le f(x)-\frac{x}{2}$ 对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立。

1. 当 $x\le 1$ 时：

• $a\ge -x^2+\frac{1}{2}x-3=-(x-\frac{1}{4}{)}^2-\frac{47}{16}$。 当 $x=\frac{1}{4}$ 时，右侧取得最大值 $-\frac{47}{16}$，故 $a\ge -\frac{47}{16}$。
• $a\le x^2-\frac{3}{2}x+3=(x-\frac{3}{4}{)}^2+\frac{39}{16}$。 当 $x=\frac{3}{4}$ 时，右侧取得最小值 $\frac{39}{16}$，故 $a\le \frac{39}{16}$。

2. 当 $x>1$ 时：

• $a\ge -x-\frac{2}{x}-\frac{x}{2}=-(\frac{3}{2}x+\frac{2}{x})$。 因为 $x>1$，$\frac{3}{2}x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3}{2}x\cdot \frac{2}{x}}=2\sqrt{3}$。 则 $-(\frac{3}{2}x+\frac{2}{x})\le -2\sqrt{3}$。 由于 $-2\sqrt{3}<-\frac{47}{16}$，此段对 $a$ 的下界无更紧约束。
• $a\le x+\frac{2}{x}-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$。 由基本不等式，$\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{2}\cdot \frac{2}{x}}=2$。 当 $x=2$ 时取等号，故 $a\le 2$。

3. 取交集： 由 $a\ge -\frac{47}{16}$ 且 $a\le \frac{39}{16}$，以及 $a\ge (\text{更小的值})$ 且 $a\le 2$。 综合得 $-\frac{47}{16}\le a\le 2$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 恒成立问题的核心：$a\ge f(x)⟺a\ge f(x{)}_{\max }$；$a\le f(x)⟺a\le f(x{)}_{\min }$。
• 基本不等式的限制：利用基本不等式求最值时，务必检查等号成立的条件是否在定义域（如 $x>1$）内。
• 压轴小题往往需要多步转化。本题第一步的绝对值拆分是关键，将复杂的含参不等式变为了两个确定函数的最值问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $f(x)\ge \frac{x}{2}+a$（不含绝对值）在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，则 $a$ 的范围是多少？（提示：只需考虑 $a\le h(x{)}_{\min }$ 即 $a\le 2$）。
2. 知识关联：本题考查了函数、不等式的综合运用。在解答题中，此类思想常用于导数的大题，作为寻找参数范围的辅助工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数