2017-山东卷文-09 单-分段函数

本题导读

考查分段函数的求值及已知函数值相等求参数与函数值的问题。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& 0<x<1,\\ 2(x-1),& x\ge 1,\end{array}$ 若 $f(a)=f(a+1)$，则 $f\left(\frac{1}{a}\right)=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 分析 $a$ 与 $a+1$ 的大小关系，显然 $a+1>a$，两段函数表达式的取值范围不同。
2. 分类讨论 $a$ 的取值区间，代入对应的分段函数表达式建立方程求解 $a$。
3. 求出 $a$ 后，代入所求式 $f\left(\frac{1}{a}\right)$ 计算结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a+1>a$，若 $f(a)=f(a+1)$，则 $a$ 和 $a+1$ 必定分别落在不同的定义域区间上。 由于当 $x>0$ 时，第一段 $\sqrt{x}\in (0,1)$，第二段 $2(x-1)\ge 0$。 若 $a\in (0,1)$，则 $a+1\in (1,2)$，此时： $f(a)=\sqrt{a}$， $f(a+1)=2(a+1-1)=2a$。 由 $f(a)=f(a+1)$ 得 $\sqrt{a}=2a$， 两边平方得 $a=4a^2⟹4a^2-a=0⟹a(4a-1)=0$。 因为 $a\in (0,1)$，解得 $a=\frac{1}{4}$。 若 $a\ge 1$，则 $a+1>2$，此时两段均为正或第二段递增，无法使 $f(a)=f(a+1)$ 成立（略）。 求 $a=\frac{1}{4}$ 时，所求表达式为： $f\left(\frac{1}{a}\right)=f(4)$。 因为 $4\ge 1$，代入第二段函数得： $f(4)=2(4-1)=2\times 3=6$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数方程求解与求值。
2. 核心方法：分段讨论与方程根的取舍。
3. 避坑指南：注意自变量范围的取舍，平方去根号时必须检验根是否满足原方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考分段函数综合应用基础题。
2. 结论推广: 含有根号的方程两边平方时易产生增根，必须代回原方程检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数