2017-山东卷文-10 单-导数综合

本题导读

考查依托导数定义的新定义函数单调性判断问题，综合性较强，对逻辑推理与导数运算要求较高。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 若函数 $e^{x}f(x)$ ($e=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数) 在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 $M$ 性质，下列函数中具有 $M$ 性质的是 ()

A. $f(x)=2^{-x}$　　B. $f(x)=x^2$　　C. $f(x)=3^{-x}$　　D. $f(x)=\cos x$

🔍【思路分析】

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1. 理解新定义：函数具有 $M$ 性质等价于其乘积函数 $g(x)=e^{x}f(x)$ 在定义域上导数恒大于等于 0（且不恒为 0）。
2. 利用乘积求导法则：$g^{\prime }(x)=[e^{x}f(x){]}^{\prime }=e^{x}f(x)+e^x{f}^{\prime }(x)=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$。
3. 由于 $e^x>0$ 恒成立， $g(x)$ 单调递增等价于 $f(x)+f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立。逐项验证四个选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=e^{x}f(x)$，由题意，$g(x)$ 在定义域上单调递增等价于 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 且不恒为 0。 因为 $g^{\prime }(x)=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$，且 $e^x>0$，故条件等价于 $f(x)+f^{\prime }(x)\ge 0$ 在定义域上恒成立。 逐一检验各选项： (A) 若 $f(x)=2^{-x}$，则 $f^{\prime }(x)=-2^{-x}\ln 2$， $f(x)+f^{\prime }(x)=2^{-x}-2^{-x}\ln 2=2^{-x}(1-\ln 2)>0$ 恒成立，符合题意。 (B) 若 $f(x)=x^2$，则 $f^{\prime }(x)=2x$，当 $x$ 充分大负数时，$x^2+2x<0$，不恒成立。 (C) 若 $f(x)=3^{-x}$，则 $f^{\prime }(x)=-3^{-x}\ln 3$， $f(x)+f^{\prime }(x)=3^{-x}(1-\ln 3)$，因为 $\ln 3>1$，故 $1-\ln 3<0$，乘积小于 0，不恒成立。 (D) 若 $f(x)=\cos x$，则 $f^{\prime }(x)=-\sin x$，$\cos x-\sin x$ 在某些区间小于 0，不恒成立。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数在函数单调性中的应用、新定义理解。
2. 核心方法：转化为导数恒正问题（$f(x)+f^{\prime }(x)\ge 0$）。
3. 避坑指南：熟练掌握积的求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数创新压轴小题。
2. 结论推广: 若 $e^{x}f(x)$ 单调递增，恒有 $f(x)+f^{\prime }(x)\ge 0$；若单调递减，则 $f(x)+f^{\prime }(x)\le 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合