2017-山东卷理-05 单-线性回归

本题导读

本题考查线性回归方程的性质，以及样本中心点的定义与应用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 为了研究某班学生的脚长 $x$（单位：厘米）和身高 $y$（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$.已知 ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i=225$，${\sum }_{i=1}^{10}{y}_i=1600$，$\hat{b}=4$.该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 ()

A. 160　　　　　　B. 163　　　　　　C. 166　　　　　　D. 170

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求样本中心点：利用公式 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$ 和 $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$ 计算平均值。
2. 确定回归方程：回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。已知 $\hat{b}=4$，代入中心点坐标求出常数项 $\hat{a}$。
3. 进行预测：将脚长 $x=24$ 代入求得的回归直线方程，计算对应的 $\hat{y}$ 值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】

1. 计算样本中心点坐标： 由已知 $n=10$，$\sum x_i=225$，$\sum y_i=1600$，得： $\bar{x}=\frac{225}{10}=22.5$ $\bar{y}=\frac{1600}{10}=160$ 故样本中心点为 $(22.5,160)$。

2. 确定回归直线方程： 因为回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 过点 $(\bar{x},\bar{y})$，且 $\hat{b}=4$， 所以 $160=4\times 22.5+\hat{a}$。 计算得 $160=90+\hat{a}$，即 $\hat{a}=70$。 所以回归直线方程为 $\hat{y}=4x+70$。

3. 估计身高： 当脚长 $x=24$ 时，代入方程得： $\hat{y}=4\times 24+70=96+70=166$。 据此估计其身高为 166 厘米。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心性质：回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 满足 $\bar{y}=\hat{b}\bar{x}+\hat{a}$。这是高考解决回归分析填空/选择题的“金钥匙”。
• 计算细节：注意样本容量 $n$ 的取值。本题中 $\sum x_i$ 除以 10 得到均值，计算过程虽简单但需细心。
• 回归分析得到的预测值 $\hat{y}$ 只是一个估计值，并非真实值，但在统计学意义上它是最优估计。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目没有给出 $\hat{b}$，而是给出了相关系数 $r$ 以及 $x,y$ 的标准差 $s_x,s_y$，则需利用公式 $\hat{b}=r\frac{s_y}{s_x}$ 先求回归系数。
2. 逻辑关联：若散点图中的点分布越靠近回归直线，说明相关性越强，$|r|$ 越接近 1，预测的准确度也就越高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-18 解-线性回归
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• 2011-江西卷文-08 单-线性回归方程求法