2017-山东卷理-10 单-函数图象

本题导读

本题考查函数的图象与性质，以及二次函数的对称性与单调性。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知当 $x\in [0,1]$ 时，函数 $y=(mx-1{)}^2$ 的图象与 $y=\sqrt{x}+m$ 的图象有且只有一个交点，则正实数 $m$ 的取值范围是 ()

A. $(0,1]\cup [2\sqrt{3},+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　B. $(0,1]\cup [3,+\infty )$

C. $(0,\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{3},+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　D. $(0,\sqrt{2}]\cup [3,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 分析函数性质：

• $f(x)=(mx-1{)}^2$ 是二次函数，顶点为 $(\frac{1}{m},0)$，开口向上。
• $g(x)=\sqrt{x}+m$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，值域为 $[m,1+m]$。

2. 分类讨论 $m$ 的范围：

• 情况一：$0<m\le 1$。此时顶点 $\frac{1}{m}\ge 1$，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。观察两函数在端点处的值，判断是否存在唯一交点。
• 情况二：$m>1$。此时顶点 $0<\frac{1}{m}<1$，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 内先减后增。需考虑图象交点的位置以及端点值的约束条件。

3. 结合图象得出结论：利用“零点存在性定理”的几何直观，通过控制区间端点的大小关系来锁定交点个数。

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✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 设 $f(x)=(mx-1{)}^2$，$g(x)=\sqrt{x}+m$。

1. 当 $0<m\le 1$ 时： 此时顶点 $x=\frac{1}{m}\ge 1$，故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。 $f(0)=1$，$f(1)=(m-1{)}^2$； $g(0)=m$，$g(1)=1+m$。 因为 $0<m\le 1$，所以 $g(0)=m\le 1=f(0)$。 同时 $g(1)=1+m$，而 $f(1)=(m-1{)}^2<1$（因为 $m\in (0,1]$）。 显然 $f(1)<g(1)$。 由于 $f(x)$ 减而 $g(x)$ 增，且在左端点 $f(0)\ge g(0)$，右端点 $f(1)<g(1)$，由函数连续性可知两图象在 $[0,1]$ 上有且只有一个交点。 故 $(0,1]$ 符合题意。

2. 当 $m>1$ 时： 此时顶点 $x=\frac{1}{m}\in (0,1)$。 在 $[0,\frac{1}{m}]$ 上，$f(x)$ 递减，$g(x)$ 递增。 由于 $f(0)=1<m=g(0)$ 且 $f(\frac{1}{m})=0<g(\frac{1}{m})$，在此段内无交点。 在 $[\frac{1}{m},1]$ 上，$f(x)$ 递增，$g(x)$ 递增。 若要有且只有一个交点，由于在 $x=\frac{1}{m}$ 处 $f(\frac{1}{m})<g(\frac{1}{m})$，则必须在右端点满足 $f(1)\ge g(1)$。 即 $(m-1{)}^2\ge 1+m$ 展开得：$m^2-2m+1\ge 1+m$ $m^2-3m\ge 0$ 由于 $m>1$，解得 $m\ge 3$。 故 $[3,+\infty )$ 符合题意。

综上所述，$m$ 的取值范围是 $(0,1]\cup [3,+\infty )$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合：处理交点问题最直观的方法是画图。通过移动二次函数的顶点位置，可以清晰地看到交点是如何产生和消失的。
• 单调性分析：单调性相反的两个连续函数，若端点值符号相反，则必有唯一交点；单调性相同的两个函数，需通过比较端点值的大小来确定。
• 作为压轴题，本题难在对 $m$ 的界定。很多学生容易忽略 $m\le 1$ 时单调性的整体性，或者在 $m>3$ 时无法准确判断 $[\frac{1}{m},1]$ 段的交点情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要求“至少有一个交点”，则 $m>1$ 时的条件会放宽。
2. 方法总结：对于 $f(x)=g(x)$ 的根的问题，若无法直接求根，转化为两个函数图象的相对位置关系（即看 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的零点）是通用策略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-08 单-函数图象
• 2014-江西卷文-10 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象