2017-山东卷理-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2+2\cos x$，$g(x)=e^x(\cos x-\sin x+2x-2)$，其中 $e=2.71828\dots$ 是自然对数的底数.

(1)求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi ,f(\pi ))$ 处的切线方程；

(2)令 $h(x)=g(x)-af(x)(a\in \mathbb{R})$，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（切线方程）：

• 求出 $f(\pi )$ 得到切点坐标。
• 对 $f(x)$ 求导，代入 $x=\pi$ 得到切线斜率 $k$。
• 利用点斜式公式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 写出方程。

2. 第二问（单调性与极值）：

• 求导化简：写出 $h(x)$ 解析式并求导，通过提公因式发现 $h^{\prime }(x)=2(e^x-a)(x-\sin x)$。
• 构造辅助函数：令 $m(x)=x-\sin x$。通过求导 $m^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$ 判定 $m(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒增，且 $m(0)=0$。这确定了导数中一部分的正负符号。
• 分类讨论：导数的另一部分 $(e^x-a)$ 的正负取决于 $a$ 的取值。需分 $a\le 0$、$0<a<1$、$a=1$、$a>1$ 四种情况，寻找 $h^{\prime }(x)=0$ 的根（$x=\ln a$ 和 $x=0$）并分析各区间导数符号。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $y=2\pi x-{\pi }^2-2$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)由 $f(x)=x^2+2\cos x$，得 $f(\pi )={\pi }^2-2$。 又 $f^{\prime }(x)=2x-2\sin x$，则 $f^{\prime }(\pi )=2\pi -2\sin \pi =2\pi$。 所以切线方程为 $y-({\pi }^2-2)=2\pi (x-\pi )$， 整理得：$y=2\pi x-{\pi }^2-2$。

(2)$h(x)=e^x(\cos x-\sin x+2x-2)-a(x^2+2\cos x)$。 求导得： $h^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x+2x-2)+e^x(-\sin x-\cos x+2)-a(2x-2\sin x)$ $h^{\prime }(x)=e^x(2x-2\sin x)-2a(x-\sin x)=2(e^x-a)(x-\sin x)$。 令 $m(x)=x-\sin x$，则 $m^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$，故 $m(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 又 $m(0)=0$，所以当 $x>0$ 时，$m(x)>0$；当 $x<0$ 时，$m(x)<0$。

分类讨论：

1. 当 $a\le 0$ 时：$e^x-a>0$ 恒成立。 当 $x<0$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；当 $x>0$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。 此时 $h(x)$ 有极小值 $h(0)=g(0)-af(0)=(1-0+0-2)-a(0+2)=-1-2a$。

2. 当 $a>0$ 时：令 $h^{\prime }(x)=0$ 得 $x_1=\ln a,x_2=0$。 ① 若 $0<a<1$：则 $\ln a<0$。 $x\in (-\infty ,\ln a)$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 递增； $x\in (\ln a,0)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 递减； $x\in (0,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 递增。 $h(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取极大值，在 $x=0$ 处取极小值 $-2a-1$。

② 若 $a=1$：则 $\ln a=0$。 $h^{\prime }(x)=2(e^x-1)(x-\sin x)\ge 0$ 恒成立，$h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，无极值。

③ 若 $a>1$：则 $\ln a>0$。 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 递增； $x\in (0,\ln a)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 递减； $x\in (\ln a,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 递增。 $h(x)$ 在 $x=0$ 处取极大值 $-2a-1$，在 $x=\ln a$ 处取极小值。

综上所述：

• $a\le 0$ 时，$h(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 减，$(0,+\infty )$ 增；极小值 $-2a-1$。
• $0<a<1$ 时，$h(x)$ 在 $(-\infty ,\ln a)$ 增，$(\ln a,0)$ 减，$(0,+\infty )$ 增；极大值 $h(\ln a)$，极小值 $-2a-1$。
• $a=1$ 时，$h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上增，无极值。
• $a>1$ 时，$h(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 增，$(0,\ln a)$ 减，$(\ln a,+\infty )$ 增；极大值 $-2a-1$，极小值 $h(\ln a)$。 极值 $极值$h(\ln a) = -a[\ln^2 a - 2\ln a + \sin(\ln a) + \cos(\ln a) + 2]$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 构造函数思想：导函数中出现 $x-\sin x$ 是高考导数题的经典设计，必须意识到其在 $x=0$ 处改变符号。
• 分类讨论的完整性：讨论 $a$ 时，必须以 $h^{\prime }(x)=0$ 的根的大小关系为分界点（即 $\ln a$ 与 $0$ 的比较）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合