2017-江苏卷-05 填-两角和差

本题导读

本题考查两角和与差的正切公式，以及三角函数求值。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 若 $\tan (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{1}{6}$，则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别公式：题目给出了 $\alpha$ 与特殊角 $\frac{\pi }{4}$ 差的正切值，需联想到两角差的正切公式： $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$
2. 代入已知量：已知 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 以及 $\tan (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{1}{6}$。
3. 建立方程：设 $\tan \alpha =x$，代入公式解方程即可。

✅【答案】

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$\frac{7}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $\tan (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}$， 且 $\tan \frac{\pi }{4}=1$， 所以有： $\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{1}{6}$ 交叉相乘得： $6(\tan \alpha -1)=1+\tan \alpha$ $6\tan \alpha -6=1+\tan \alpha$ $5\tan \alpha =7$ $\tan \alpha =\frac{7}{5}$

故答案为：$\frac{7}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度：两角和与差的正切公式是三角恒等变换的高频考点。注意分母的符号：差角公式分母为“$1+$”，和角公式分母为“$1-$”。
• 运算准确性：此类题目难度不大，但在交叉相乘和移项合并同类项时容易因粗心导致失分。
• 特殊角数值：熟记 $\tan \frac{\pi }{4}=1$、$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ 是解题的基础。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-15 填-两角和差
• 2019-上海卷-16 单-两角和差
• 2019-江苏卷-13 填-两角和差