2017-江苏卷-07 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 记函数 $f(x)=\sqrt{6+x-x^2}$ 的定义域为 $D$.在区间 $[-4,5]$ 上随机取一个数 $x$，则 $x\in D$ 的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解定义域 $D$：

• 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即 $6+x-x^2\ge 0$。
• 解这个一元二次不等式，得到 $x$ 的取值范围，即为集合 $D$。

2. 应用几何概型公式：

• 本题属于长度型几何概型。
• 概率 $P=\frac{\text{构成事件的区域长度}}{\text{全部结果构成的区域长度}}=\frac{\text{区间 }D\text{ 的长度}}{\text{区间 }[-4,5]\text{ 的长度}}$。

and the sub-interval D representing the domain of the function]

✅【答案】

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$\frac{5}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求定义域 $D$ 由题意得：$6+x-x^2\ge 0$ 整理得：$x^2-x-6\le 0$ 因式分解得：$(x-3)(x+2)\le 0$ 解得：$-2\le x\le 3$ 所以定义域 $D=[-2,3]$。

第二步：计算概率 全部结果构成的区域为区间 $[-4,5]$，其长度 $L=5-(-4)=9$。 事件 $x\in D$ 构成的区域为区间 $[-2,3]$，其长度 $l=3-(-2)=5$。 根据几何概型概率公式，所求概率为： $P=\frac{l}{L}=\frac{5}{9}$

故答案为：$\frac{5}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 一元二次不等式的陷阱：在解 $x^2-x-6\le 0$ 时，务必先化二次项系数为正，避免符号出错。
• 区间长度的计算：区间 $[a,b]$ 的长度为 $b-a$。注意不要在求长度时习惯性地加 1（加 1 是在计算离散整数个数时才需要的）。
• 几何概型的判断：只要题目中出现“随机取一个数”、“区间”等关键词，且基本事件是无限不可数的，通常就是几何概型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1977-青海-04 解-函数定义域
• 2005-北京卷文-11 填-函数定义域
• 2008-大纲卷I文-01 单-函数定义域