2008-大纲卷I文-01 单-函数定义域

本题导读

考查函数定义域。$\sqrt{1-x}$ 要求 $x⩽1$，$\sqrt{x}$ 要求 $x⩾0$，取交集得 $[0,1]$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 函数 $y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$ 的定义域为()

A. $\{x\mid x⩽1\}$　　　　B. $\{x\mid x⩾0\}$　　　　C. $\{x\mid x⩾1$ 或 $x⩽0\}$　　　　D. $\{x\mid 0⩽x⩽1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两个根式都有意义：被开方数分别非负。
2. $1-x⩾0$ 给出 $x⩽1$；$x⩾0$ 给出 $x⩾0$。
3. 取交集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需 $\{\begin{array}{l}1-x⩾0,\\ x⩾0,\end{array}即\{\begin{array}{l}x⩽1,\\ x⩾0.\end{array}$ 取交集得 $0⩽x⩽1$，故定义域为 $\{x\mid 0⩽x⩽1\}$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式函数的定义域

核心方法：$1-x⩾0$ 且 $x⩾0$，交集 $[0,1]$

避坑指南：每个根式的被开方数都要非负，缺一不可；两个条件取交集而非并集；本题两个条件恰好”夹”出闭区间 $[0,1]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定义域是函数小题的基本功，2009 江西文第 2 题、2014 山东文第 3 题同型。

结论推广：$\sqrt{u}$ 有意义 $⟺u⩾0$；分母不为零；对数真数大于零。

方法推广：列全所有限制条件后取交集；答案是集合或区间时注意端点能否取到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-02 单-函数定义域
• 2011-安徽卷文-13 填-根式函数定义域
• 2012-安徽卷文-02 单-交集与对数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域