2017-江苏卷-13 填-线性规划

本题导读

本题考查向量的坐标运算，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(-12,0)$，$B(0,6)$，点 $P$ 在圆 $O:x^2+y^2=50$ 上.若 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\le 20$，则点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标化表示：设 $P(x,y)$。由于点 $P$ 在圆 $O:x^2+y^2=4$ 上，满足 $x^2+y^2=4$。
2. 向量数量积展开：

• $\overrightarrow{PA}=(2-x,-y)$
• $\overrightarrow{PB}=(-x,2-y)$
• 计算 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(2-x)(-x)+(-y)(2-y)$。

3. 建立不等式：将展开式化简，利用 $x^2+y^2=4$ 进行代换，得到一个关于 $x,y$ 的线性不等式。
4. 几何意义转化：该不等式代表一个半平面。由于 $P$ 既要在圆上，又要满足该不等式，问题转化为求圆在某直线侧的点的横坐标范围。
5. 求最值：利用数形结合或参数方程确定 $x$ 的边界。

✅【答案】

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$[-5\sqrt{2},1]$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $P(x,y)$，则 $\overrightarrow{PA}=(-12-x,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(-x,6-y)$。 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)=12x+x^2-6y+y^2$。 由 $P$ 在圆上，$x^2+y^2=50$，代入得： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=50+12x-6y$。 由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\le 20$，得 $50+12x-6y\le 20$，即 $2x-y+5\le 0$。 即点 $P$ 在直线 $2x-y+5=0$ 的左侧（含直线上）。 联立 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=50\\ 2x-y+5=0\end{array}$，消去 $y$ 得 $x^2+(2x+5{)}^2=50$，即 $5x^2+20x-25=0$，$x^2+4x-5=0$，解得 $x=-5$ 或 $x=1$。 故直线与圆交于点 $M(-5,-5)$、$N(1,7)$，满足条件的点 $P$ 是圆上的劣弧 $\widehat{MN}$。 又圆 $x^2+y^2=50$ 上点的横坐标范围是 $[-5\sqrt{2},5\sqrt{2}]$，结合劣弧位置，点 $P$ 横坐标的取值范围为 $[-5\sqrt{2},1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量与解析几何的结合：数量积表达式 $x^2+y^2+Ax+By+C$ 经常可以通过曲线方程化简为线性表达式。
• 数形结合：线性规划不仅限于直线围成的区域，圆、抛物线等曲线边界是江苏卷的高频考向。
• 此类题目解题关键是“脱去向量外衣”，转化为坐标运算。若涉及最值，优先考虑切线位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划