2017-江苏卷-17 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求法。核心在于由离心率与两准线间距离确定基本量，再利用垂直条件转化为向量数量积为零，并结合椭圆对称性求交点坐标。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\frac{1}{2}$，两准线之间的距离为 $8$. 点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，且位于第一象限，过点 $F_1$ 作直线 $P{F}_1$ 的垂线 $l_1$，过点 $F_2$ 作直线 $P{F}_2$ 的垂线 $l_2$.

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2) 若直线 $l_1,l_2$ 的交点 $Q$ 在椭圆 $E$ 上，求点 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：由 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得 $a=2c$；右准线 $x=\frac{a^2}{c}=2a$，两准线距离 $4a=8$，即得 $a,c,b$。
2. 第 (2) 问：设 $P(x,y)$、$Q(u,v)$，把”$l_1\perp P{F}_1$、$l_2\perp P{F}_2$“翻译为向量数量积为零（两式），相减得 $u=-x$（对称性），回代解出 $v$；再由 $Q$ 在椭圆上联立方程解出 $x,y$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

(2) $P\left(\frac{4\sqrt{7}}{7},\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设椭圆的半焦距为 $c$. 由离心率 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=2a$，所以两准线之间的距离为 $4a=8$，从而 $a=2$，$c=1$. 因此 $b^2=a^2-c^2=3$，椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

(2) 由 $a=2$，$c=1$，得 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$. 设 $P=(x,y)$，则 $x>0$，$y>0$，且 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$. 设 $Q=(u,v)$. 因为 $l_1\perp P{F}_1$，$l_2\perp P{F}_2$，所以

$$\{\begin{array}{l}(u+1)(x+1)+vy=0,\\ (u-1)(x-1)+vy=0.\end{array}$$

两式相减得 $u=-x$，代入第一式得 $v=\frac{x^2-1}{y}$. 又因为 $Q$ 在椭圆上，所以 $\frac{x^2}{4}+\frac{(1-x^2{)}^2}{3y^2}=1.$ 由 $y^2=3\left(1-\frac{x^2}{4}\right)$，化简得 $\frac{x^2}{4}+\frac{4(1-x^2{)}^2}{9(4-x^2)}=1,$ 即 $7x^4+40x^2-128=0.$ 令 $t=x^2$，则 $7t^2+40t-128=0$，解得 $t=\frac{16}{7}$ 或 $t=-8$. 因为 $x>0$，所以 $x=\frac{4\sqrt{7}}{7}$，再由椭圆方程得 $y=\frac{3\sqrt{7}}{7}$. 故 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{4\sqrt{7}}{7},\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率与准线；垂直条件的向量表示；椭圆上两点关于 $y$ 轴的对称关系。
2. 核心方法：基本量法 + 设而不求——垂直条件不写斜率而写数量积，避开”斜率是否存在”的讨论。
3. 避坑指南：两准线间距离是 $\frac{2a^2}{c}$（左右两条），不是 $\frac{a^2}{c}$；化简 $7x^4+40x^2-128=0$ 时换元 $t=x^2$ 后别忘 $t>0$ 舍负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：江苏卷解析几何中档题，将”垂直”从斜率语言升级为向量语言，体现新课标”几何问题代数化”导向。
2. 结论推广：$Q(-x,v)$ 与 $P(x,y)$ 横坐标互为相反数——两垂足构造的交点天然与原点、$P$ 构成对称结构，可推广为”过焦点垂线交点”的一般轨迹问题。
3. 方法推广：凡”过 $F_1/F_2$ 作垂线”类问题，优先用 $(u-x_F)(x-x_F)+(v-y_F)(y-y_F)=0$ 写垂直条件，两式相减常能直接暴露对称性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点