2017-江苏卷-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的乘法与复合求导。核心在于导数研究函数性质、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$ ($a>0,b\in \mathbb{R}$) 有极值，且导函数 $f^{\prime }(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点.

(1)求 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明： $b^2>3a$；

(3)若 $f(x)$，$f^{\prime }(x)$ 的所有极值之和不小于 $-\frac{7}{2}$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求解析式）：

• 求导得到 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。其极值点即为其图象（抛物线）的对称轴 $x=-\frac{a}{3}$。
• 利用已知条件 $f(-\frac{a}{3})=0$ 建立 $a,b$ 的等量关系。
• 注意“有极值”意味着 $f^{\prime }(x)=0$ 必须有两个相异实根，即 $\Delta >0$，由此确定 $a$ 的定义域。

2. 第二问（证明不等式）：

• 利用第一问的表达式 $b=\frac{2a^2}{9}+\frac{3}{a}$。
• 构造函数 $g(a)=\frac{b}{\sqrt{a}}$，利用导数研究其单调性，证明其下界大于 $\sqrt{3}$。

3. 第三问（极值求和）：

• 关键发现：三次函数的两个极值点关于其对称中心（拐点）对称。本题中 $f^{\prime }(x)$ 的极值点就是 $f(x)$ 的对称中心横坐标。
• 简化计算：既然对称中心在 $x$ 轴上（即零点），那么 $f(x)$ 的两个极值之和必为 $0$。
• 列不等式：总极值之和仅剩下 $f^{\prime }(x)$ 的极小值，建立关于 $a$ 的不等式并求解。

✅【答案】

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（1）𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏的极值点为𝑥=−𝑎

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)求 $b$ 关于 $a$ 的关系式： $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。其极值点为二次函数对称轴 $x=-\frac{2a}{2\times 3}=-\frac{a}{3}$。 由题意，$f(-\frac{a}{3})=0$，即 $(-\frac{a}{3}{)}^3+a(-\frac{a}{3}{)}^2+b(-\frac{a}{3})+1=0$。 整理得：$-\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{ab}{3}+1=0⟹\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+1=0$。 由于 $a>0$，解得 $b=\frac{2a^2}{9}+\frac{3}{a}$。 因为 $f(x)$ 有极值，故 $f^{\prime }(x)=0$ 有两个不等实根，$\Delta =(2a{)}^2-4\times 3\times b=4a^2-12b>0⟹a^2>3b$。 代入 $b$ 得：$a^2>3(\frac{2a^2}{9}+\frac{3}{a})=\frac{2a^2}{3}+\frac{9}{a}⟹\frac{a^2}{3}>\frac{9}{a}⟹a^3>27$。 故 $a$ 的定义域为 $(3,+\infty )$。

(2)证明 $b^2>3a$： 只需证 $\frac{b}{\sqrt{a}}>\sqrt{3}$。令 $h(a)=\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{2a\sqrt{a}}{9}+\frac{3}{a\sqrt{a}}$。 设 $t=a\sqrt{a}=a^{3/2}$，由于 $a>3$，则 $t>3\sqrt{3}$。 构造函数 $\varphi (t)=\frac{2t}{9}+\frac{3}{t}$ ($t>3\sqrt{3}$)。 ${\varphi }^{\prime }(t)=\frac{2}{9}-\frac{3}{t^2}=\frac{2t^2-27}{9t^2}$。 当 $t>3\sqrt{3}$ 时，$t^2>27$，故 ${\varphi }^{\prime }(t)>0$，$\varphi (t)$ 在 $(3\sqrt{3},+\infty )$ 上单调递增。 所以 $\varphi (t)>\varphi (3\sqrt{3})=\frac{2\times 3\sqrt{3}}{9}+\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。 即 $\frac{b}{\sqrt{a}}>\sqrt{3}$ 成立，$b^2>3a$ 得证。

(3)求 $a$ 的取值范围： $f^{\prime }(x)$ 的极值为 $f^{\prime }(-\frac{a}{3})=3(-\frac{a}{3}{)}^2+2a(-\frac{a}{3})+b=b-\frac{a^2}{3}$。 设 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_1,x_2$，它们关于 $x=-\frac{a}{3}$ 对称。 根据三次函数图象性质，点 $(-\frac{a}{3},f(-\frac{a}{3}))$ 是 $f(x)$ 的对称中心。 由于 $f(-\frac{a}{3})=0$，中心在 $x$ 轴上，故 $f(x_1)+f(x_2)=2f(-\frac{a}{3})=0$。

所有极值之和为 $(b-\frac{a^2}{3})+0\ge -\frac{7}{2}$。 代入 $b$：$\frac{2a^2}{9}+\frac{3}{a}-\frac{a^2}{3}\ge -\frac{7}{2}⟹-\frac{a^2}{9}+\frac{3}{a}\ge -\frac{7}{2}$。 同乘 $18a$ ($a>0$)：$-2a^3+54\ge -63a⟹2a^3-63a-54\le 0$。 令 $g(a)=2a^3-63a-54$。试根发现 $g(6)=2(216)-63(6)-54=432-378-54=0$。 故 $(a-6)(2a^2+12a+9)\le 0$。 因为 $a>3$，所以 $2a^2+12a+9>0$ 恒成立。 则 $a-6\le 0⟹a\le 6$。 结合定义域 $a>3$，得 $3<a\le 6$。

💡 【考点总结与回顾】

• 对称性的妙用：在处理三次函数极值之和时，直接利用对称中心性质比复杂的韦达定理代换要高效得多。
• 定义域的“长效性”：第一问求出的 $a>3$ 贯穿全题，是第二问判定单调性和第三问解不等式的重要前提。
• 计算精准度：江苏卷压轴题逻辑链极长，任何一步（如 $\Delta >0$ 的化简）出错都会导致后续全盘皆输。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的对称中心横坐标始终为 $x=-b/(3a)$。
• 方法推广:
  • 降次技巧：若不用对称性，处理 $f(x_1)$ 时可利用 $f(x)$ 除以 $f^{\prime }(x)$ 的余式进行降次代换。

• 相关知识点:

  • 试根法：在解决高次不等式时，寻找特殊整数根是快速因式分解的常用技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合