2017-江苏卷-21C 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化。核心在于消参法、参数代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-8+t\\ y=\frac{t}{2}\end{array}$（$t$ 为参数），曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2s^2\\ y=2\sqrt{2}s\end{array}$（$s$ 为参数）.设 $P$ 为曲线 $C$ 上的动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化直线方程：将直线 $l$ 的参数方程消去参数 $t$，得到直角坐标下的普通方程（一般式）。由 $t=2y$ 代入 $x=-8+t$ 整理。
2. 表示动点 $P$：点 $P$ 在曲线 $C$ 上，其坐标可直接用参数 $s$ 表示：$P(2s^2,2\sqrt{2}s)$。
3. 建立距离函数：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，将 $P$ 点坐标代入直线 $l$ 的方程。
4. 求最小值：将距离 $d$ 转化为关于 $s$ 的二次函数，通过配方法求出该函数的最小值。

✅【答案】

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始终大于 $0$，故可以去掉绝对值符号：

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)转化直线 $l$ 的方程： 由直线 $l$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-8+t\\ y=\frac{t}{2}\end{array}$ 得 $t=2y$。 代入 $x=-8+t$，整理得直线 $l$ 的普通方程为： $x-2y+8=0$。

(2)建立距离函数： 设曲线 $C$ 上的动点 $P$ 的坐标为 $(2s^2,2\sqrt{2}s)$，其中 $s\in \mathbb{R}$。 则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|2s^2-2(2\sqrt{2}s)+8|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|2s^2-4\sqrt{2}s+8|}{\sqrt{5}}$。 由于 $2s^2-4\sqrt{2}s+8=2(s^2-2\sqrt{2}s+4)=2[(s-\sqrt{2}{)}^2+2]$， 显然对于任意实数 $s$，该二次式的值始终大于 $0$，故可以去掉绝对值符号： $d=\frac{2(s-\sqrt{2}{)}^2+4}{\sqrt{5}}$。

(3)求解最小值： 当 $s=\sqrt{2}$ 时，$(s-\sqrt{2}{)}^2$ 取得最小值 $0$。 此时，$d$ 取得最小值 $d_{\min }=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。 此时点 $P$ 的坐标为 $(2(\sqrt{2}{)}^2,2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=(4,4)$。 故点 $P$ 到直线 $l$ 的距离最小值为 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

💡 【考点总结与回顾】

• 曲线类型识别：曲线 $C$ 消去参数后为 $y^2=4x$，这是一个开口向右的抛物线。
• 消参的严谨性：将参数方程化为普通方程时，应注意变量的取值范围。本题中 $x=2s^2\ge 0$，而抛物线 $y^2=4x$ 本身也隐含 $x\ge 0$，故范围一致。
• 最值求法：在解析几何中，求曲线上的点到直线的距离最值，最常用的工具就是将点坐标参数化，配合二次函数求最值或导数法。
• 规范表达：计算结果若含有根号，通常需要进行分母有理化。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若直线与曲线相交，则最小距离为 $0$；若不相交（如本题），则最小距离对应于曲线切线平行于已知直线的位置。
• 方法推广:
  • 切线法：设与直线 $l$ 平行的直线 $l^{\prime }:x-2y+m=0$ 与抛物线相切，利用 $\Delta =0$ 求出 $m$，两平行线间的距离即为最小距离。

• 相关知识点:

  • 二次函数配方法：$y=a(x-h{)}^2+k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程
• 2014-新课标I卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程