2017-江苏卷-23 解-分布列

本题导读

本题考查分布列与期望。核心在于分布列法、组合数性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷）已知一个口袋有 $m$ 个白球， $n$ 个黑球 ( $m, n \in N^{*}, n \geq 2$ )，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为 $1, 2, 3, \dots, m + n$ 的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉 ( $k = 1, 2, 3, \dots, m + n$ ).

(1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 $p$ ；

(2)随机变量 $X$ 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， $E (X)$ 是 $X$ 的数学期望，证明： $E (X) < \frac{n}{( m + n ) ( n - 1 )}$ .

🔍【思路分析】

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第一问（抽签模型）：

根据对称性，每个位置出现黑球的概率均相等。

严谨计算：总放法为 $(n m + n)$ 。若第 2 个抽屉固定为黑球，则余下的 $n - 1$ 个黑球在剩下的 $m + n - 1$ 个位置随机放置，情况数为 $(n - 1 m + n - 1)$ 。

第二问（期望与证明）：

确定 $X$ 的取值：最后一个黑球所在的编号 $k$ 最小为 $n$ （前 $n - 1$ 个也是黑球），最大为 $m + n$ 。故 $X \in {\frac{1}{n}, \frac{1}{n + 1}, \dots, \frac{1}{m + n}}$ 。

求概率分布：设最后一个黑球在第 $k$ 个抽屉，意味着前 $k - 1$ 个抽屉里恰有 $n - 1$ 个黑球，且第 $k$ 个抽屉必须放入黑球。概率 $P (X = \frac{1}{k}) = \frac{( n - 1 k - 1 )}{( n m + n )}$ 。

数学期望： $E (X) = \sum_{k = n}^{m + n} \frac{1}{k} \cdot \frac{( n - 1 k - 1 )}{( n m + n )}$ 。

放缩证明：利用组合数性质 $\frac{1}{k} (n - 1 k - 1) = \frac{1}{n - 1} (n - 2 k - 2) \cdot \frac{k - 1}{k} < \frac{1}{n - 1} (n - 2 k - 2)$ 。再结合朱世杰恒等式 $\sum_{i = r}^{N} (r i) = (r + 1 N + 1)$ 完成求和放缩。

✅【答案】

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（1）在𝑚+𝑛个抽屉中，𝑛个黑球的位置等可能地从所有位置组合中产生，所以编号为2的抽屉内放黑球的概率为𝑝=𝑛

✍【详细解析】

Abstract

(1)求概率 $p$ ：取出的 $n$ 个黑球放入 $m + n$ 个抽屉，总的放法有 $(n m + n)$ 。若编号为 2 的抽屉放黑球，则余下的 $n - 1$ 个黑球在剩下的 $m + n - 1$ 个抽屉中随机放置，共有 $(n - 1 m + n - 1)$ 种情况。故所求概率为： $p = \frac{( n - 1 m + n - 1 )}{( n m + n )} = \frac{\frac{( m + n - 1 )!}{( n - 1 )! m !}}{\frac{( m + n )!}{n ! m !}} = \frac{n}{m + n}$

(2)证明不等式：设最后一个取出的黑球所在的抽屉编号为 $k$ ，则 $k$ 的可能取值为 $n, n + 1, \dots, m + n$ 。当编号为 $k$ 时， $X = \frac{1}{k}$ 。事件“最后一个黑球在第 $k$ 个抽屉”表示前 $k - 1$ 个抽屉里有 $n - 1$ 个黑球，且第 $k$ 个抽屉放入黑球。其发生概率为： $P (X = \frac{1}{k}) = \frac{( n - 1 k - 1 ) \times 1}{( n m + n )}$ 则数学期望为： $E (X) = \sum_{k = n}^{m + n} \frac{1}{k} \cdot \frac{( n - 1 k - 1 )}{( n m + n )}$ 注意到组合数恒等式变换： $\frac{1}{k} (n - 1 k - 1) = \frac{( k - 1 )!}{k \cdot ( n - 1 )! ( k - n )!} = \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{( k - 1 )!}{n \cdot ( n - 2 )! ( k - n )!} \cdot \frac{n}{k} = \frac{1}{n - 1} (n - 2 k - 2) \cdot \frac{k - 1}{k}$

由于 $k \geq n \geq 2$ ，则 $\frac{k - 1}{k} < 1$ ，所以： $\frac{1}{k} (n - 1 k - 1) < \frac{1}{n - 1} (n - 2 k - 2)$ 代入期望公式： $E (X) < \frac{1}{( n - 1 ) ( n m + n )} \sum_{k = n}^{m + n} (n - 2 k - 2)$ 由朱世杰恒等式（上标求和公式）： $\sum_{i = r}^{N} (r i) = (r + 1 N + 1)$ 。令 $j = k - 2$ ， $r = n - 2$ ，则当 $k$ 从 $n$ 变到 $m + n$ 时， $j$ 从 $n - 2$ 变到 $m + n - 2$ ： $\sum_{j = n - 2}^{m + n - 2} (n - 2 j) = (n - 1 m + n - 1)$ 故： $E (X) < \frac{( n - 1 m + n - 1 )}{( n - 1 ) ( n m + n )}$ 代入第一问结论 $\frac{( n - 1 m + n - 1 )}{( n m + n )} = \frac{n}{m + n}$ ： $E (X) < \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{n}{m + n} = \frac{n}{( m + n ) ( n - 1 )}$ 证毕。

💡 【考点总结与回顾】

组合数基本功：熟练掌握 $(k n)$ 的展开式、递推式以及求和恒等式是处理此类压轴题的必备工具。

期望的本质：期望是取值与对应概率乘积的累加。在处理动态取球模型时，准确描述最后一个黑球位置的概率是关键。

本题(2)问具有极强的放缩技巧。通过观察目标结论中的 $n - 1$ ，引导我们在求和过程中寻找与 $n - 1$ 相关的组合数变换。这种“以终为始”的思维是破解压轴题的常用手段。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：待补

核心方法：待补

避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

结论推广: 在相同的模型下，若求最后一个黑球位置 $k$ 的期望 $E (k)$ ，结果为 $\frac{n ( m + n + 1 )}{n + 1}$ 。

方法推广:

镜像放缩：在处理离散型变量的不等式时，将通项放缩为容易裂项或容易应用求和公式的形式。

相关知识点:

超几何分布：本题概率模型与不放回抽样的超几何分布有内在逻辑联系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

2013-江西卷理-18 解-分布列

2013-浙江卷理-19 解-分布列

2014-山东卷理-18 解-分布列

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