2017-浙江卷-02 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的离心率是 ()

A. $\frac{\sqrt{13}}{3}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　D. $\frac{5}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别方程：给定的是焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
2. 确定参数：从方程中读出 $a^2=9$，$b^2=4$。
3. 计算焦距：利用椭圆的基本关系式 $c^2=a^2-b^2$ 计算出 $c$ 的值。
4. 求解离心率：根据定义 $e=\frac{c}{a}$ 代入数值计算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 可知： $a^2=9⟹a=3$， $b^2=4⟹b=2$。

在椭圆中，$c^2=a^2-b^2=9-4=5$， 则半焦距 $c=\sqrt{5}$。 根据离心率定义 $e=\frac{c}{a}$， 得 $e=\frac{\sqrt{5}}{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：
• 椭圆关系式：$a^2=b^2+c^2$（注意与双曲线 $c^2=a^2+b^2$ 区分）。
• 离心率：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。
• 易错点：
• 混淆 $a^2$ 与 $b^2$ 的位置。在椭圆中，$a^2$ 始终是分母中较大的那个数。
• 计算 $c^2$ 时符号出错，误算成 $9+4=13$（这是双曲线的计算逻辑，对应选项 A）。
• 离心率 $e$ 描述了椭圆的“扁平”程度。因为 $0<c<a$，所以椭圆的离心率恒满足 $0<e<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若方程变为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，离心率会变吗？

• 不会变。此时只是焦点切换到了 $y$ 轴上，$a^2$ 依然是 $9$，$b^2$ 依然是 $4$，故 $e$ 仍为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$。

2. 知识关联：离心率是圆锥曲线的核心特征。圆的 $e=0$，椭圆 $0<e<1$，抛物线 $e=1$，双曲线 $e>1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点