2017-浙江卷-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的运算。核心在于导数分析法、构造辅助函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知函数 $f(x)=(x-\sqrt{2x-1})e^{-x}$ （$x\ge \frac{1}{2}$）.

(1)求 $f(x)$ 的导函数；

(2)求 $f(x)$ 在区间 $[\frac{1}{2},+\infty )$ 上的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求导）：函数 $f(x)$ 是乘积形式，需使用乘法法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。其中 $u=x-(2x-1{)}^{1/2}$，求导时注意复合函数处理。
2. 第二问（值域）：

• 找导数零点：令 $f^{\prime }(x)=0$，解出可能的极值点。
• 列表分析单调性：根据导函数在各区间的正负，判定 $f(x)$ 的增减性。
• 端点与趋势：计算 $x=\frac{1}{2}$ 处的函数值，并分析当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)$ 的极限趋势。
• 确定范围：结合单调性和极值，得出函数值的取值区间。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1)$f(x)=(x-\sqrt{2x-1})e^{-x}$， $f^{\prime }(x)=(1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\cdot 2\cdot \frac{1}{2})e^{-x}+(x-\sqrt{2x-1})(-e^{-x})$ $f^{\prime }(x)=(1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}})e^{-x}-(x-\sqrt{2x-1})e^{-x}$ $f^{\prime }(x)=e^{-x}[1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-x+\sqrt{2x-1}]$ $f^{\prime }(x)=e^{-x}[(1-x)+(\sqrt{2x-1}-\frac{1}{\sqrt{2x-1}})]$ $f^{\prime }(x)=e^{-x}[(1-x)+\frac{2x-1-1}{\sqrt{2x-1}}]$ $f^{\prime }(x)=e^{-x}[(1-x)+\frac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}}]$ $f^{\prime }(x)=e^{-x}(x-1)(\frac{2}{\sqrt{2x-1}}-1)$。 或者整理为：$f^{\prime }(x)=(1-x)(1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}})e^{-x}$。

(2)令 $f^{\prime }(x)=0$： 由 $1-x=0$ 得 $x_1=1$； 由 $1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}=0$ 得 $\sqrt{2x-1}=2$，即 $2x-1=4⟹x_2=\frac{5}{2}$。 分析 $f^{\prime }(x)$ 在 $[\frac{1}{2},+\infty )$ 上的正负：

• 当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时，$1-x>0$ 且 $1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}<0$，故 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (1,\frac{5}{2})$ 时，$1-x<0$ 且 $1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}<0$，故 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (\frac{5}{2},+\infty )$ 时，$1-x<0$ 且 $1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}>0$，故 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

计算关键点的值：

• $f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2}-0)e^{-1/2}=\frac{1}{2}{e}^{-1/2}>0$；
• $f(1)=(1-1)e^{-1}=0$；
• $f(\frac{5}{2})=(\frac{5}{2}-2)e^{-5/2}=\frac{1}{2}{e}^{-5/2}$；
• 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to 0$。

比较可知，最小值在 $x=1$ 处取得，$f(1)=0$； 最大值在 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=\frac{5}{2}$ 处取得。 因为 $e^{-1/2}>e^{-5/2}$，所以 $f(\frac{1}{2})>f(\frac{5}{2})$。 因此最大值为 $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}{e}^{-1/2}$。 故 $f(x)$ 的取值范围是 $[0,\frac{1}{2}{e}^{-1/2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 求导变形技巧：第一问的导数结果如果不进行因式分解，第二问将极难寻找零点。看到 $(x-1)$ 和 $(2x-2)$ 的倍数关系要敏锐。
• 值域的全面性：在半闭区间上，除了考虑极值，必须考虑端点值以及无穷远处的趋势。
• 本题难度在于导函数的符号判断。通过将 $f^{\prime }(x)$ 分解为多个因式的乘积，可以清晰地看到各个转折点对正负号的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $x$ 的范围改为 $(1,+\infty )$，函数是否有最小值？

• 此时 $f(x)$ 依然有极小值 $f(1)=0$，但由于 $x=1$ 不在开区间内，函数值将无限接近 $0$ 但无法取到。

2. 知识关联：本题考查了导数在处理“指数+代数”复合函数中的标准流程，是高考导数大题的经典考法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合