2018-上海卷-13 单-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的第一定义，以及椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ 上的动点，则 $P$ 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2\sqrt{5}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾定义：根据椭圆的第一定义，平面内到两定点 $F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1{F}_2|$）的点的轨迹是椭圆。这个常数即为长轴长 $2a$。

2. 提取参数：从方程 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ 中识别出 $a^2$ 和 $b^2$。

   • 由于 $5>3$，故 $a^2=5$，$b^2=3$。

3. 计算结果：求出 $a=\sqrt{5}$，则距离之和为 $2a=2\sqrt{5}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

由椭圆方程 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ 可知，$a^2=5,b^2=3$。

所以 $a=\sqrt{5}$。

根据椭圆的定义：椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长 $2a$。

因此，距离之和为 $2a=2\sqrt{5}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 定义是基础：在圆锥曲线中，很多看起来需要复杂计算的问题，回归定义往往能快速求解。

2. 区分 $a,b,c$：在椭圆中，$a^2$ 始终是分母中较大的那一个；而在双曲线中，$a^2$ 是正项的分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比记下三大圆锥曲线的定义特征：

• 椭圆：到两定点距离之和为定值 $2a$。

• 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为定值 $2a$。

• 抛物线：到定点距离等于到定直线距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-新课标I卷理-10 单-椭圆方程与性质