2018-上海卷-14 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件、必要条件的定义，以及分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）已知 $a\in \mathbb{R}$，则 “$a>1$” 是 “$\frac{1}{a}<1$” 的()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确命题 $p,q$：

   • 命题 $p:a>1$。

   • 命题 $q:\frac{1}{a}<1$。

2. 求解命题 $q$：

   • $\frac{1}{a}<1⟹\frac{1}{a}-1<0⟹\frac{1-a}{a}<0$。

   • 相当于 $a(1-a)<0⟹a(a-1)>0$。

   • 解得 $a>1$ 或 $a<0$。

3. 判断推导关系：

   • 若 $a>1$，则必有 $a>1$ 或 $a<0$ 成立，故 $p⟹q$（充分性成立）。

   • 若 $a>1$ 或 $a<0$ 成立，不一定能推出 $a>1$（例如 $a=-1$），故 $q/⟹p$（必要性不成立）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

由 $a>1$ 可得 $\frac{1}{a}<1$ 成立（因为 $a>0$，两边同除以 $a$ 不改变符号，即 $1<a$）；

反之，由 $\frac{1}{a}<1$ 得 $\frac{1-a}{a}<0$，即 $a(a-1)>0$，解得 $a>1$ 或 $a<0$。

显然，由 $a>1$ 或 $a<0$ 推不出 $a>1$。

所以，“$a>1$” 是 “$\frac{1}{a}<1$” 的充分非必要条件。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分式不等式的严谨性：处理 $\frac{1}{a}<1$ 时，切忌直接两边乘以 $a$，因为 $a$ 的正负号不确定。必须通过移项通分或分类讨论来求解。

2. 集合包含关系：若命题 $p$ 对应的集合为 $P$，命题 $q$ 对应的集合为 $Q$：

   • $P\subseteq Q⟺p$ 是 $q$ 的充分条件。

   • $Q\subseteq P⟺p$ 是 $q$ 的必要条件。

     本题中 $P=(1,+\infty )$，$Q=(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$，显然 $P⊊Q$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳此类问题的快速判断口诀：

• 小集合 $⟹$ 大集合：充分。

• 大集合 $⟹$ 小集合：必要。

• 左推右，右不推左：充分不必要。

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🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 1977-福建卷-02(1)
• 1995-全国卷理-24