2018-上海卷-15 单-几何体结构

本题导读

本题考查空间几何体的结构特征，需按阳马的定义把“底面是矩形、有一条侧棱垂直底面”两个条件同时落实，再按底面矩形分类计数。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 $A A_{1}$ 是正六棱柱的一条侧棱，如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 $A A_{1}$ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()

A. 4　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 16

🔍【思路分析】

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把定义拆成两条硬条件：底面是矩形；四条侧棱中有一条垂直于底面。两条同时满足才算阳马，缺一不可。

底面矩形还缺一条边。 $A A_{1}$ 已经是矩形的一边，只要再在底面内取一条从 $A$ 出发的弦 $A X$ ，矩形就定成 $A A_{1} X_{1} X$ 。底面上从 $A$ 出发的弦共五条（ $A B, A C, A D, A E, A F$ ），所以候选底面矩形恰好 5 个。

关键的一步：把空间问题降成平面问题。矩形 $A A_{1} X_{1} X$ 所在平面是竖直的（它含侧棱 $A A_{1}$ ）。垂直于这个平面的方向必定是水平的，于是阳马顶点 $V$ 只能与矩形顶点 $W$ 处在同一层——同在下底面或同在上底面——并且 $V W ⊥ A X$ 。这样就不必在空间里找垂线，只在正六边形内找互相垂直的弦即可。

上下对称。下底面的每一个解，把字母统一加下标 $1$ 就得到上底面的一个解。所以只需数下底面，再乘 2。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

第一步：正六边形里哪些弦互相垂直

设正六边形边长为 1。从 $A$ 出发的五条弦，方向依次相差 $3 0^{\circ}$ ，排列如下（以 $A D$ 方向为基准）：

弦 $A B$ $A C$ $A D$ $A E$ $A F$
与 $A D$ 的夹角 $6 0^{\circ}$ $3 0^{\circ}$ $0^{\circ}$ $3 0^{\circ}$ $6 0^{\circ}$

两条弦垂直，要求夹角为 $9 0^{\circ}$ 。五条弦的方向依次相差 $3 0^{\circ}$ ，所以序号相差 3 的两条弦才互相垂直：第 1 条与第 4 条、第 2 条与第 5 条。对照上表，这两对弦都分居 $A D$ 两侧，夹角由两段合成：

$A B ⊥ A E$ ： $A B$ 与 $A D$ 夹 $6 0^{\circ}$ 、 $A E$ 与 $A D$ 夹 $3 0^{\circ}$ ，合起来 $6 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

$A C ⊥ A F$ ： $A C$ 与 $A D$ 夹 $3 0^{\circ}$ 、 $A F$ 与 $A D$ 夹 $6 0^{\circ}$ ，合起来 $3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

$A D$ 排在正中间，与其余四条都不垂直。注意 $A F$ 与 $A B$ 的夹角是正六边形的内角 $12 0^{\circ}$ ，不垂直。

第二步： $X$ 那一端的垂线总落在 $D$ 上

$A D$ 是正六边形外接圆的直径，而 $X$ 在圆上，由直径所对的圆周角为直角，恒有 $∠ A X D = 9 0^{\circ}$ ，即 $D X ⊥ A X$ 。只要 $X \neq = D$ ，顶点 $D$ 就是一个解。

第三步：分类计数

底面矩形 $A$ 处垂直的弦 $X$ 处垂直的弦下底面对应顶点上下合计
$A A_{1} B B_{1}$ $A B ⊥ A E$ $D B ⊥ A B$ $E$ 、 $D$ 4
$A A_{1} C C_{1}$ $A C ⊥ A F$ $D C ⊥ A C$ $F$ 、 $D$ 4
$A A_{1} D D_{1}$ 无 $X = D$ 时退化无 0
$A A_{1} E E_{1}$ $A E ⊥ A B$ $D E ⊥ A E$ $B$ 、 $D$ 4
$A A_{1} F F_{1}$ $A F ⊥ A C$ $D F ⊥ A F$ $C$ 、 $D$ 4

其中 $A A_{1} D D_{1}$ 这一类为 0： $A D$ 与底面内从 $A$ 出发的其余弦都不垂直，而“ $X$ 处”的解法在 $X = D$ 时顶点恰是矩形自身的顶点，四棱锥退化。

合计 $4 + 4 + 0 + 4 + 4 = 16$ 。

故选：D。

弦	$A B$	$A C$	$A D$	$A E$	$A F$
与 $A D$ 的夹角	$6 0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$6 0^{\circ}$

底面矩形	$A$ 处垂直的弦	$X$ 处垂直的弦	下底面对应顶点	上下合计
$A A_{1} B B_{1}$	$A B ⊥ A E$	$D B ⊥ A B$	$E$ 、 $D$	4
$A A_{1} C C_{1}$	$A C ⊥ A F$	$D C ⊥ A C$	$F$ 、 $D$	4
$A A_{1} D D_{1}$	无	$X = D$ 时退化	无	0
$A A_{1} E E_{1}$	$A E ⊥ A B$	$D E ⊥ A E$	$B$ 、 $D$	4
$A A_{1} F F_{1}$	$A F ⊥ A C$	$D F ⊥ A F$	$C$ 、 $D$	4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

正六边形的垂直关系要用“隔三条”判断，不能凭感觉。五条弦方向依次相差 $3 0^{\circ}$ ，隔三条才差 $9 0^{\circ}$ 。把 $A F ⊥ A B$ 当成垂直是常见错误——那两条弦的夹角正是内角 $12 0^{\circ}$ 。

垂足必须落在矩形的顶点上。阳马的侧棱是“顶点到矩形顶点”的连线，若从某顶点向矩形平面作垂线、垂足不在矩形顶点，那根本构不成四棱锥。 $A A_{1} D D_{1}$ 这一类之所以为 0，就在于过 $A$ 或 $D$ 的水平垂线在六边形内找不到第三个顶点。

不要漏掉上底面。上底面的解与下底面一一对应，数量必须相等，漏掉就会得到 8 或 12 这样的干扰项。

分类要按“底面矩形”分，不要按顶点分。同一个顶点（如 $D$ ）会同时成为多个阳马的顶点，按顶点计数必然重复或遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

《九章算术》第五卷“商功”中给出的几个多面体，是高考立体几何的经典情境素材：

阳马：底面为矩形、且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥。

鳖臑（biē nào）：四个面都是直角三角形的四面体。

堑堵（qiàn dǔ）：底面为直角三角形的直三棱柱。

三者之间的体积关系是：一个堑堵可以分割成一个阳马和一个鳖臑。设底面矩形两边为 $a, b$ ，高为 $h$ ，则阳马体积为 $\frac{1}{3} abh$ ，堑堵体积为 $\frac{1}{2} abh$ ，鳖臑体积为 $\frac{1}{6} abh$ ——正是“锥的体积是与它同底等高的柱的体积的三分之一”的直观来源。

🔗【关联脉络】

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2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理

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1988-全国卷理-14 单-组合计数

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