2018-上海卷-18 解-三角函数奇偶性

本题导读

本题考查三角函数的奇偶性。核心在于公式法、转化思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）设常数 $a\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=a\sin 2x+2{\cos }^{2}x$.

(1) 若 $f(x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

(2) 若 $f(\frac{\pi }{4})=\sqrt{3}+1$，求方程 $f(x)=1-\sqrt{2}$ 在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上的解.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（奇偶性）：

• 定义法：偶函数满足 $f(-x)=f(x)$。

• 分析项：$\sin 2x$ 是奇函数，${\cos }^{2}x$ 是偶函数。要使整体为偶函数，奇函数项的系数必须为 0。

2. 第二问（三角方程）：

• 求参数 $a$：代入 $x=\frac{\pi }{4}$ 到原式，解出 $a$。

• 恒等变换：利用二倍角公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，将 $f(x)$ 化简为 $a\sin 2x+\cos 2x+1$。

• 辅助角公式：将 $f(x)$ 化为 $A\sin (2x+\phi )+B$ 的形式。

• 区间解集：解出基本解后，根据 $x\in [-\pi ,\pi ]$ 确定所有的具体根。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a=0$

(2) $x=-\frac{11\pi }{24},-\frac{5\pi }{24},\frac{13\pi }{24},\frac{19\pi }{24}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

因为 $f(x)=a\sin 2x+2{\cos }^{2}x$，$x\in \mathbb{R}$。

则 $f(-x)=a\sin (-2x)+2{\cos }^2(-x)=-a\sin 2x+2{\cos }^{2}x$。

若 $f(x)$ 为偶函数，则对任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $f(-x)=f(x)$。

即 $-a\sin 2x+2{\cos }^{2}x=a\sin 2x+2{\cos }^{2}x$，

整理得 $2a\sin 2x=0$。

由于该式对任意 $x$ 恒成立，故 $a=0$。

(2)解：

由 $f(\frac{\pi }{4})=\sqrt{3}+1$，得：

$a\sin \frac{\pi }{2}+2{\cos }^2\frac{\pi }{4}=\sqrt{3}+1$，

即 $a\cdot 1+2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\sqrt{3}+1⟹a+1=\sqrt{3}+1$，

解得 $a=\sqrt{3}$。

所以 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+2{\cos }^{2}x=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x+1$。

利用辅助角公式化简：

$f(x)=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x)+1=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})+1$。

令 $f(x)=1-\sqrt{2}$，得：

$2\sin (2x+\frac{\pi }{6})+1=1-\sqrt{2}$，

$\sin (2x+\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

令 $u=2x+\frac{\pi }{6}$，则：

$u=-\frac{\pi }{4}+2k\pi$ 或 $u=\frac{5\pi }{4}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

解得 $2x=-\frac{5\pi }{12}+2k\pi ⟹x=-\frac{5\pi }{24}+k\pi$，

或 $2x=\frac{13\pi }{12}+2k\pi ⟹x=\frac{13\pi }{24}+k\pi$。

由于 $x\in [-\pi ,\pi ]$，

当 $k=0$ 时，$x=-\frac{5\pi }{24}$ 或 $x=\frac{13\pi }{24}$；

当 $k=1$ 时，$x=\frac{19\pi }{24}$；

当 $k=-1$ 时，$x=-\frac{29\pi }{24}$（舍），$x=-\frac{11\pi }{24}$。

综合得方程在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的解为：

$-\frac{11\pi }{24},-\frac{5\pi }{24},\frac{13\pi }{24},\frac{19\pi }{24}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 恒等变换是命门：熟练掌握 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 和辅助角公式是处理三角综合大题的第一步。

2. 解的个数检查：在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上求解时，务必注意 $2x$ 的范围是 $[-2\pi ,2\pi ]$，这意味着通常会有 4 个解，检查 $k$ 的取值要细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理辅助角公式的通用结论：

• $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。

• 特殊组合记忆：

• $\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin (x+\frac{\pi }{6})$

• $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin (x+\frac{\pi }{3})$

• $\sin x\pm \cos x=\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\pi }{4})$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1990-全国卷理-04 单-三角方程的根的个数

• 2005-湖南卷理-16 解-两角和与差的正弦公式

• 2008-山东卷文-17 解-三角化一与平移单调