2014-福建卷文-10 单-平面向量

本题导读

本题利用平行四边形对角线互相平分：两对对角顶点关于 $M$ 对称，两组向量和各为 $2\overrightarrow{OM}$。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 设 $M$ 为平行四边形 $ABCD$ 对角线的交点，$O$ 为其所在平面内任意一点，求 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$.()

A. $\overrightarrow{OM}$　B. $2\overrightarrow{OM}$　C. $3\overrightarrow{OM}$　D. $4\overrightarrow{OM}$

🔍【思路分析】

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由对角线互相平分知 $M$ 同时是 $AC$ 与 $BD$ 的中点，故 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}$。

✅【答案】

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化简结果

✍【详细解析】

详细解析

因为 $M$ 为 $AC$、$BD$ 中点，所以 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}$，原式 $=4\overrightarrow{OM}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的中点公式与线性运算
2. 核心方法：中点公式 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$
3. 避坑指南：结论对“任意点 $O$”成立，这正是中点公式不依赖起点的体现；若把 $M$ 误当成两条对角线以外的某定点，或只合并两组中的一组，都会选错系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平行四边形中心与向量和的关系是向量小题的常青素材，本质是中点公式的直接应用。
2. 结论推广: 一般地，对任意点 $O$ 与线段 $AB$ 中点 $M$，恒有 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$；推广到 $n$ 个点重心 $G$，有 $\sum \overrightarrow{O{P}_i}=n\overrightarrow{OG}$。
3. 方法推广: 凡涉及“中点 + 向量和”，优先想中点公式，避免设坐标硬算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘
• 2014-北京卷理-10 填-向量的数乘