2018-全国卷I理-04 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $3S_3=S_2+S_4$，$a_1=2$，则 $a_5=$()

A. $-12$　　　　　　B. $-10$　　　　　　C. $10$　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量：设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
2. 公式代换：

• $S_2=2a_1+d$
• $S_3=3a_1+3d$
• $S_4=4a_1+6d$

3. 列方程求解：将上述表达式代入已知等式 $3S_3=S_2+S_4$，结合 $a_1=2$ 解出 $d$。
4. 求目标项：利用 $a_5=a_1+4d$ 计算最终结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 可得： $S_2=2a_1+d$ $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3a_1+3d$ $S_4=4a_1+\frac{4\times 3}{2}d=4a_1+6d$

代入已知条件 $3S_3=S_2+S_4$： $3(3a_1+3d)=(2a_1+d)+(4a_1+6d)$ $9a_1+9d=6a_1+7d$ 整理得： $3a_1+2d=0$

已知 $a_1=2$，代入上式： $3\times 2+2d=0⟹6+2d=0⟹d=-3$

则第 5 项为： $a_5=a_1+4d=2+4\times (-3)=2-12=-10$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 方程思想：数列题本质上是关于 $a_1,d$（或 $a_1,q$）的方程组问题。只要条件个数足够，就能解出所有基本量。
2. 性质法提速： 本题也可以观察：$S_4-S_2=a_3+a_4$。 原式可化为 $3S_3=S_4+S_2⟹3S_3-2S_2=S_4-S_2=a_3+a_4$。 虽然这种方法在某些特定题型中很快，但对于本题，直接用 $a_1,d$ 代入的计算量也非常小，且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录：

• $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$。
• 几何意义：等差数列的前 $n$ 项和是关于 $n$ 的二次函数（常数项为 0）。
• 对称性：若 $d\ne 0$，其图象是过原点的一些孤立点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和